Coeficient binomial

În matematică, coeficienții binomiali sunt coeficienții întregi $\textstyle {n \choose k}$ care apar pe lângă termenii din dezvoltarea binomului lui Newton:

$(a+b)^{n}=\textstyle {n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^{2}+\cdots +{n \choose n-1}ab^{n-1}+{n \choose n}b^{n}.$

Spre exemplu, pentru $n=4$, deoarece

$(a+b)^{4}=1\times a^{4}+4\times a^{3}b+6\times a^{2}b^{2}+4\times ab^{3}+1\times b^{4},$

avem $\textstyle {4 \choose 0}=1$, $\textstyle {4 \choose 1}=4$, $\textstyle {4 \choose 2}=6$, $\textstyle {4 \choose 2}=6$, $\textstyle {4 \choose 3}=4$ și $\textstyle {4 \choose 2}=1.$ Aranjate într-un tablou, acești coeficienți formează triunghiul lui Pascal.

	k = 0	k = 1	k = 2	k = 3	k = 4	k = 5	...
n = 0	1	0	0	0	0	0	...
n = 1	1	1	0	0	0	0	...
n = 2	1	2	1	0	0	0	...
n = 3	1	3	3	1	0	0	...
n = 4	1	4	6	4	1	0	...

Coeficientul binomial $\textstyle {n \choose k}$ este egal cu numărul de k-combinări de n elemente, adică cu numărul de moduri de a lua k elemente distincte printre n, fără ordine. Din acest motiv, notația $\textstyle {n \choose k}$ se citește „n luate câte k”.

Coeficienții binomiali pot fi exprimați compact cu numere factoriale, drept

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}.$

unde $n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n$ este numărul „factorial n”.

Coeficienții binomiale au un rol important în multe ramuri ale matematicii, mai ales în combinatorică și în domenii legate.

Notații

Notația cea mai comună pentru coeficientul binomial „n luate câte k” este notația $\textstyle {n \choose k},$ introdusă de matematicianul austriac Andreas von Ettingshausen în 1826. Însă, există și notația

$C_{n}^{k}={n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}},$

care istoric a fost mai comună în lumea francofonă și rusofonă.

Ambele notații sunt listate în standardul ISO 80000-2.

Proprietății

O proprietate importantă a coeficienților binomiali este formula lui Pascal: pentru orice $n\geq 0$ și $k\geq 0$ întregi,

${n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1}$

Această formulă rămâne valabilă pentru $k\geq n$, deoarece $\textstyle \forall j>n,\;{n \choose j}=0.$

Vezi și

• Binomul lui Newton
• Triunghiul lui Pascal
• Combinare
• Teorema multinomială

Legături externe

• Calculul de la Coeficient binomial
• Coeficienții binomiale pe The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (A007318)