User:Zataxuava/Fibonacci word fractal

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The three types of Fibonacci word fractals.

The Fibonacci word fractal is a fractal curve, the structure of which is derived from Fibonacci words.

Definition[edit]

The first iterations of the fractal.

This curve is constructed iteratively by applying an odd-even drawing rule to the Fibonacci words. For each letter in position k:

  • trace a segment
  • if the letter is "0" turn 90°:
    • to the right if k is even.
    • to the left if k is odd.

For each Fibonacci word of length , there is an associated curve of segments. Depending on the value of n, the curve has one of three forms described as: , and .

Propriétés [1].[edit]

Les nombres de Fibonacci dans la fractale
  • La courbe , à segments, présente angles droits et angles plats.
  • La courbe ne présente jamais d'auto-intersection, ni de points doubles. A la limite, elle présente une infinité de points asymptotiquement proches.
  • La courbe présente des autosimilarités à toutes les échelles. Le facteur de réduction vaut . Ce nombre, appelé également nombre d'argent , est présent dans nombre des propriétés géométriques évoquées ci-dessous.
  • Le nombre de copies autosimilaires au degré n est un nombre de Fibonacci - 1 (plus précisément ).
  • La courbe délimite une infinité de structures carrées de taille décroissante, dans un rapport de .
  • Ce nombre de carrés est un nombre de Fibonacci.
  • La courbe peut également être construite de diverses manières (voir galerie):
    • Système de fonctions itérées à 4 et 1 homothéties de rapport et
    • Juxtaposition des courbes n-1 et n-2,
    • Système de Lindermayer
    • Par construction itérée de 8 motifs carrés autour de chaque motif carré.
    • Par construction itérée d'octogones.
  • La dimension de Hausdorff de la courbe vaut , avec , le nombre d'or.
  • En généralisant à un angle quelconque entre 0 et , sa dimension de Hausdorff vaut , avec .
  • La dimension de Hausdorff de sa frontière vaut .
  • Interchanger le rôle de "0" et de "1" dans le mot de Fibonacci, ou dans la règle, génère la même courbe, mais orientée à 45°
  • A partir du mot de Fibonacci, on peut définir le "mot dense de Fibonacci", sur un alphabet de 3 lettres: 102210221102110211022102211021102110221022102211021... (référencé A143667 dans l'OEIS). L'application, sur ce mot, d'une règle de traçage "naturelle" permet de définir un ensemble infini de variantes de la courbe, parmi lesquelles:
    • la variante "diagonale"
    • la variante "svastika"
    • la variante "compacte"


  • On conjecture que le motif de la fractale du mot de Fibonacci se retrouve pour tout mot sturmien dont la séquence directive (donc expansion de la pente en fractions continues) se termine par une suite infinie de "1".

Galerie[edit]

Tuile de Fibonacci[edit]

Pavage (imparfait) par des tuiles de Fibonacci. L'espace non couvert tend vers zéro à l'infini
Pavage parfait par des flocons de Fibonacci

La juxtaposition de 4 courbes de Fibonacci de type permet la construction d'une courbe fermée délimitant une surface connexe d'aire non nulle. Cette figure est appelée "tuile de Fibonacci".

  • La tuile de Fibonacci pave presque le plan. Elle laisse un carré libre dont la surface tend vers zéro à mesure que k tend vers l'infini. A la limite, la tuile de Fibonacci pave le plan.
  • Si la tuile de Fibonacci s'inscrit dans un carré de côté 1, alors son aire tend vers .

Flocon de Fibonacci[edit]

Le flocon de Fibonacci est une tuile de Fibonacci définie selon la règle suivante[2] :

  • si
  • sinon.

Avec et , "tourne à gauche" et "tourne à droite", et ,

Quelques propriétés remarquables[2] · [3] :

  • C'est la tuile de Fibonacci associée à la variante "diagonale" définie précédemment.
  • Il pave le plan à toute itération (à tout ordre)
  • Il pave le plan par translation de deux façons différentes, il s'agit donc d'un double pseudo-carré.
  • son périmètre, à l'ordre n, vaut . F(n) étant le nième nombre de Fibonacci.
  • son aire, à l'ordre n, suit les index successifs de rang impair de la suite de Pell (définie par ).

Références et bibliographie[edit]

[4]

http://www.mathematica-journal.com/2014/02/properties-and-generalizations-of-the-fibonacci-word-fractal/#more-36796}{\color{blue}(pdf)}

Voir aussi[edit]

Liens externes[edit]

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Catégorie:Fractale

  1. ^ Fractale du mot de Fibonacci
  2. ^ a b Christoffel and Fibonacci tiles
  3. ^ Fibonacci snowflakes
  4. ^ Rubiano G. (and J. L. Ramírez), Properties and Generalizations of Fibonacci Word Fractal, Exploring Fractal Curves, The Mathematica Journal, Vol. 16, 2, 1--25 (2014).