Fractale de Rauzy

La fractale de Rauzy (ou, au masculin, « le fractal de Rauzy ») est une figure fractale associée à la substitution de Tribonacci : $s(1)=12$ , $s(2)=13$ , $s(3)=1$ . Cette étude a été réalisée en 1981 par Gérard Rauzy^[1], dans l'objectif de généraliser les propriétés dynamiques de la substitution de Fibonacci. Cette fractale se généralise à d'autres substitutions à trois lettres, générant d'autres figures aux propriétés intéressantes (pavage périodique du plan, auto-similarité en 3 parties homothétiques...).

Définitions[modifier | modifier le code]

Le mot infini de tribonacci se construit d'après la substitution dite de Tribonacci : $s(1)=12$ , $s(2)=13$ , $s(3)=1$ . À partir de 1, les mots de Tribonacci successifs sont donc :

$t_{0}=1$
$t_{1}=12$
$t_{2}=1213$
$t_{3}=1213121$
$t_{4}=1213121121312$

On montre que, pour $n>2$ , $t_{n}=t_{n-1}t_{n-2}t_{n-3}$ , d'où le nom "Tribonacci".

Considérons, maintenant, l'espace $R^{3}$ muni d'un référentiel orthonormé. La fractale de Rauzy se construit, alors, comme suit:

1) Interpréter la suite des lettres du mot infini de Tribonacci comme une suite de vecteurs unitaires de l'espace selon la règle: (1 = direction x, 2 = direction y, 3 = direction z).

2) Construire alors un "escalier" en traçant les points atteints par cette séquence de vecteurs. Par exemple, les premiers points sont :

$1\Rightarrow (1,0,0)$
$2\Rightarrow (1,1,0)$
$1\Rightarrow (2,1,0)$
$3\Rightarrow (2,1,1)$
$1\Rightarrow (3,1,1)$

etc. Chaque point peut être coloré selon la valeur de la lettre correspondante afin de mettre en lumière l'auto-similarité.

3) Projeter alors ces points sur l'espace contractant (plan orthogonal à la direction générale de propagation de ces points, aucun des points projetés ne s'échappe à l'infini). La fractale de Rauzy est la clôture de cet ensemble.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Peut être recouverte par trois copies d'elle-même, réduites de facteurs : $k$ , $k^{2}$ et $k^{3}$ avec $k$ solution de $k^{3}+k^{2}+k-1=0$ : $\scriptstyle {k={\frac {1}{3}}(-1-{\frac {2}{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}}+{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}})=0.54368901269207636}$ .
Stable par échange de morceaux. On obtient la même figure changeant les trois copies de place.
Connexe et simplement connexe. N'a pas de trou.
Pavage périodique par translation: Peut paver le plan par translation, de manière périodique.
La matrice de la substitution de Tribonacci a pour polynôme caractéristique $x^{3}-x^{2}-x-1$ , ses valeurs propres étant un réel $\beta =1,8392$ , appelé constante de Tribonacci, un nombre de Pisot, et deux complexes conjugués $\alpha$ et ${\bar {\alpha }}$ avec $\alpha {\bar {\alpha }}=1/\beta$ .
Sa frontière est fractale et la dimension de Hausdorff de cette frontière égale 1,0933 (solution de $2|\alpha |^{3s}+|\alpha |^{4s}=1$ ^[2]).

Variantes et généralisation[modifier | modifier le code]

Pour toute substitution de type Pisot et unimodulaire, qui vérifie, en plus, une condition particulière dite de coïncidences (toujours vérifiée, semble-t-il), on peut construire un ensemble du même genre appelé fractal de Rauzy de la substitution. Ils sont tous auto-similaires et engendrent, pour les exemples ci-dessous, un pavage périodique de l'espace.