Assuntos a serem estudados:
Geogebra
Trigonometria
Função trigonométrica
Identidades trigonométricas
Número Racional é todo o número que pode ser representado por uma razão ou fração entre dois números inteiros .
O conjunto dos números racionais, representado pelo simbolo
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
é definido por:
Q
=
{
a
b
|
a
∈
Z
;
b
∈
Z
∗
}
.
{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\begin{matrix}{\frac {a}{b}}\end{matrix}}\,|\,a\in \mathbb {Z} \,;\,b\in \mathbb {Z^{*}} \right\}.}
Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é formado por todos os quocientes de números inteiros a e b , em que b é não nulo. O uso da letra "Q" é derivado da palavra latina quotiē(n)s [1] , cujo significado é quantas vezes .
Exemplos:
−
6
7
{\displaystyle -{\frac {6}{7}}}
,
3
5
8
{\displaystyle 3{\frac {5}{8}}}
,
7
,
5
{\displaystyle 7{,}5}
,
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
.
Há quatro formas de se apresentarem os números racionais: Frações (próprias ou impróprias), números mistos (que é uma variação das frações impróprias), números decimais de escrita finita e, por fim, as dízimas, que são números decimais em cuja escrita aparecem períodos numéricos infinitos. Eis alguns exemplos:
Fração:
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}
.
∗
{\displaystyle *}
Na Fração
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
,
a
{\displaystyle a}
é o numerador e
b
{\displaystyle b}
o denominador. Se
a
{\displaystyle a}
e
b
{\displaystyle b}
são primos entre si, isto é, se
m
d
c
(
a
,
b
)
=
1
{\displaystyle mdc(a,b)=1}
, dizemos que essa fração é irredutível.
Numeral misto:
1
2
3
{\displaystyle 1{\tfrac {2}{3}}}
Números decimais de escrita finita:
4
,
5
{\displaystyle 4,5}
Dízimas periódicas:
0
,
333...
{\displaystyle 0,333...}
ou
0
,
3
¯
{\displaystyle 0,{\overline {3}}}
Subconjuntos de
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
: [ editar | editar código-fonte ]
Q
∗
{\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}
: conjuntos dos racionais não nulos.
Q
+
{\displaystyle \mathbb {Q} _{+}}
: conjuntos dos racionais não negativos.
Q
+
∗
{\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{*}}
: conjuntos dos racionais positivos.
Q
−
{\displaystyle \mathbb {Q} _{-}}
: conjuntos dos racionais não positivos.
Q
−
∗
{\displaystyle \mathbb {Q} _{-}^{*}}
: conjunto dos racionais negativos.
Propriedades de
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
: [ editar | editar código-fonte ]
Seja
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
,
c
d
{\displaystyle {\frac {c}{d}}}
e
e
f
∈
Q
{\displaystyle {\frac {e}{f}}\in \mathbb {Q} }
.
i
)
(
a
b
+
c
d
)
+
e
f
=
a
b
+
(
c
d
+
e
f
)
{\displaystyle i)\left({\tfrac {a}{b}}+{\tfrac {c}{d}}\right)+{\tfrac {e}{f}}={\tfrac {a}{b}}+\left({\tfrac {c}{d}}+{\tfrac {e}{f}}\right)\qquad }
Associativa
i
i
)
a
b
+
c
d
=
c
d
+
a
b
{\displaystyle ii){\tfrac {a}{b}}+{\tfrac {c}{d}}={\tfrac {c}{d}}+{\tfrac {a}{b}}\qquad }
Comutativa
i
i
i
)
a
b
+
0
=
a
b
{\displaystyle iii){\tfrac {a}{b}}+0={\tfrac {a}{b}}\qquad }
Elemento neutro da soma
SIMÉTRICO PARA A ADIÇÃO
a
b
+
(
−
a
b
)
=
0
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}+\left(-{\tfrac {a}{b}}\right)=0}
i
)
(
a
b
⋅
c
d
)
⋅
e
f
=
a
b
⋅
(
c
d
⋅
e
f
)
{\displaystyle i)\left({\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {c}{d}}\right)\cdot {\tfrac {e}{f}}={\tfrac {a}{b}}\cdot \left({\tfrac {c}{d}}\cdot {\tfrac {e}{f}}\right)\qquad }
Associativa
i
i
)
a
b
⋅
c
d
=
c
d
⋅
a
b
{\displaystyle ii){\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {c}{d}}={\tfrac {c}{d}}\cdot {\tfrac {a}{b}}\qquad }
Comutativa
i
i
i
)
a
b
⋅
1
=
a
b
{\displaystyle iii){\tfrac {a}{b}}\cdot 1={\tfrac {a}{b}}\qquad }
Elemento neutro da multiplicação
i
v
)
a
b
⋅
(
c
d
+
e
f
)
=
a
b
⋅
c
d
+
a
b
⋅
e
f
{\displaystyle iv){\tfrac {a}{b}}\cdot \left({\tfrac {c}{d}}+{\tfrac {e}{f}}\right)={\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {c}{d}}+{\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {e}{f}}\qquad }
Distributiva
SIMÉTRICO PARA A MULTIPLICAÇÃO
∀
{\displaystyle \forall }
a
b
∈
Q
{\displaystyle {\frac {a}{b}}\in \mathbb {Q} }
e
≠
0
{\displaystyle \neq 0}
, existe
b
a
∈
Q
{\displaystyle {\frac {b}{a}}\in \mathbb {Q} }
, tal que
a
b
⋅
b
a
=
1
{\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}=1}
.
Com isso, podemos definir em
Q
∗
{\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}
a DIVISÃO , tal que
a
b
:
c
d
=
a
b
⋅
d
c
{\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}}
, para
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
,
c
d
≠
0
{\displaystyle {\frac {c}{d}}\neq 0}
.
2
3
{\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}
é o mesmo que
4
6
{\displaystyle {\tfrac {4}{6}}}
?
Não, essas frações na verdade representam quantidades iguais, ou seja, são equivalentes.
Quando os denominadores são iguais é fácil identificar se as quantidades representadas por duas frações são iguais, pois
q
u
a
n
t
{
2
5
}
=
q
u
a
n
t
{
2
5
}
{\displaystyle quant\left\{{\frac {2}{5}}\right\}=quant\left\{{\frac {2}{5}}\right\}}
q
u
a
n
t
{
4
3
}
≠
q
u
a
n
t
{
5
3
}
{\displaystyle quant\left\{{\frac {4}{3}}\right\}\neq quant\left\{{\frac {5}{3}}\right\}}
Agora, quando os denominadores não são iguais usamos a seguinte definição:
Sendo
a
,
b
≠
0
{\displaystyle a,b\neq 0}
e
A
,
B
≠
0
{\displaystyle A,B\neq 0}
números inteiros, dizemos que as frações
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
e
A
B
{\displaystyle {\tfrac {A}{B}}}
são frações equivalentes, o que denotamos por:
q
u
a
n
t
{
a
b
}
=
q
u
a
n
t
{
A
B
}
{\displaystyle quant\left\{{\frac {a}{b}}\right\}=quant\left\{{\frac {A}{B}}\right\}}
Quando, e somente quando, tivermos
a
⋅
B
=
b
⋅
A
{\displaystyle a\cdot B=b\cdot A}
, ou seja
q
u
a
n
t
{
a
b
}
=
q
u
a
n
t
{
A
B
}
⟺
a
b
=
A
B
⟺
a
⋅
B
=
b
⋅
A
{\displaystyle quant\left\{{\frac {a}{b}}\right\}=quant\left\{{\frac {A}{B}}\right\}\Longleftrightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {A}{B}}\Longleftrightarrow a\cdot B=b\cdot A}
Exemplos:
2
5
=
4
10
=
6
15
=
8
20
⋯
{\displaystyle {\frac {2}{5}}={\frac {4}{10}}={\frac {6}{15}}={\frac {8}{20}}\cdots }
−
1
2
=
2
−
4
=
−
3
6
⋯
{\displaystyle {\frac {-1}{2}}={\frac {2}{-4}}={\frac {-3}{6}}\cdots }
4
3
=
8
6
=
12
9
=
16
12
⋯
{\displaystyle {\frac {4}{3}}={\frac {8}{6}}={\frac {12}{9}}={\frac {16}{12}}\cdots }
i
)
a
b
=
a
b
{\displaystyle i){\frac {a}{b}}={\frac {a}{b}}\quad }
Reflexiva
i
i
)
a
b
=
c
d
⇒
c
d
=
a
b
{\displaystyle ii){\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\Rightarrow {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\quad }
Simétrica
i
i
i
)
a
b
=
c
d
{\displaystyle iii){\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}
e
c
d
=
e
f
⇒
a
b
=
e
f
{\displaystyle {\frac {c}{d}}={\frac {e}{f}}\Rightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {e}{f}}\quad }
Transitiva
A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. Usualmente trabalhamos com a fração irredútivel deste conjunto. A cada classe de equivalência de fração associamos um número racional.
Classe significa o mesmo que conjunto e é usada quando um conjunto de objetos matemáticos são, de alguma maneira, todos equivalentes entre si.
Exemplo:
r
=
{
1
2
,
2
4
,
3
6
⋯
}
{\displaystyle r=\left\{{\frac {1}{2}},{\frac {2}{4}},{\frac {3}{6}}\cdots \right\}}
, neste caso
r
=
0
,
5
{\displaystyle r=0,5}
O número zero racional consiste na classe
{
0
1
,
0
2
,
⋯
0
−
1
,
0
−
2
,
⋯
}
{\displaystyle \left\{{\frac {0}{1}},{\frac {0}{2}},\cdots {\frac {0}{-1}},{\frac {0}{-2}},\cdots \right\}}
. Ele é o único número racional que tem representações fracionárias, tanto com numerador e denominador de sinais iguais, como de sinais opostos.
A relação de ordem entre números racionais sempre é estabelecida a partir de representações fracionárias de denominadores positivos.
Dados dois números racionais
r
=
a
b
{\displaystyle r={\tfrac {a}{b}}}
e
s
=
c
d
{\displaystyle s={\tfrac {c}{d}}}
a
b
>
c
d
⟺
a
⋅
d
>
c
⋅
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}>{\frac {c}{d}}\Longleftrightarrow a\cdot d>c\cdot b}
TEOREMA:
O campo
[
Q
,
+
,
⋅
,
<
]
{\displaystyle [\mathbb {Q} ,+,\cdot ,<]}
tem a estrutura de campo ordenado, ou seja, é um corpo no qual a relação de ordem verifica as duas seguintes propriedades:
Sendo
r
,
s
,
t
∈
Q
{\displaystyle r,s,t\in \mathbb {Q} }
i
)
r
<
s
⟺
r
+
t
<
s
+
t
∀
t
∈
Q
{\displaystyle i)\quad r<s\Longleftrightarrow r+t<s+t\qquad \forall \quad t\in \mathbb {Q} }
(
⇐
)
r
+
t
+
(
−
t
)
<
s
+
t
+
(
−
t
)
{\displaystyle (\Leftarrow )r+t+(-t)<s+t+(-t)}
r
+
0
<
s
+
0
{\displaystyle \qquad r+0<s+0}
r
<
s
{\displaystyle \qquad r<s}
i
i
)
r
<
s
⟺
r
⋅
t
<
s
⋅
t
∀
t
>
0
{\displaystyle ii)\quad r<s\Longleftrightarrow r\cdot t<s\cdot t\qquad \forall \quad t>0}
(
⇐
)
r
⋅
t
⋅
1
t
<
s
⋅
t
⋅
1
t
{\displaystyle (\Leftarrow )r\cdot t\cdot {\frac {1}{t}}<s\cdot t\cdot {\frac {1}{t}}}
r
⋅
t
t
<
s
⋅
t
t
{\displaystyle \qquad r\cdot {\frac {t}{t}}<s\cdot {\frac {t}{t}}}
r
<
s
{\displaystyle \qquad r<s}
Propriedade arquimediana em
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
[ editar | editar código-fonte ]
Dado um número racional
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
, para cada escolha de
r
∈
Q
{\displaystyle r\in \mathbb {Q} }
, sempre é possível encontrar
m
∈
N
{\displaystyle m\in \mathbb {N} }
, tal que
r
<
m
⋅
α
{\displaystyle r<m\cdot \alpha }
r
=
8
3
{\displaystyle r={\frac {8}{3}}}
e
α
=
1
2
{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}
, onde
m
{\displaystyle m}
é o menor possível.
8
3
<
m
⋅
1
2
{\displaystyle {\frac {8}{3}}<m\cdot {\frac {1}{2}}}
(
2
)
⋅
8
3
<
m
⋅
1
2
⋅
(
2
)
{\displaystyle (2)\cdot {\frac {8}{3}}<m\cdot {\frac {1}{2}}\cdot (2)}
16
3
<
m
⋅
2
2
⇒
16
3
<
m
{\displaystyle {\frac {16}{3}}<m\cdot {\frac {2}{2}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {16}{3}}<m}
Sabemos então que quando
m
=
16
3
{\displaystyle m={\tfrac {16}{3}}}
,
m
⋅
α
=
r
1
{\displaystyle m\cdot \alpha =r_{1}}
, porém não temos como determinar o menor racional que seja maior que
16
3
{\displaystyle {\tfrac {16}{3}}}
. Então basta tomarmos um
m
>
16
3
{\displaystyle m>{\tfrac {16}{3}}}
. Por exemplo:
17
3
{\displaystyle {\tfrac {17}{3}}}
.
8
3
<
1
2
⋅
17
3
⇒
8
3
<
17
6
{\displaystyle {\frac {8}{3}}<{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {17}{3}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {8}{3}}<{\frac {17}{6}}}
Um conjunto
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
de números racionais é dito denso (em
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
) se entre dois quaisquer elementos distintos de
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
existam infinitos elementos de
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
, ou seja, entre os dois elementos de
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
dados, existem infinitos intermediários que estão em
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
.
TEOREMA:
A média aritmética de quaisquer dos números racionais sempre é um número intermediário entre eles. Se
r
<
s
∈
Q
{\displaystyle r<s\in \mathbb {Q} }
.
Hipótese:
r
<
s
{\displaystyle r<s}
.
Tese:
r
<
r
+
s
2
<
s
{\displaystyle r<{\frac {r+s}{2}}<s}
Temos que
r
+
r
=
2
r
{\displaystyle r+r=2r}
e
s
+
s
=
2
s
{\displaystyle s+s=2s}
Então,
2
r
<
r
+
s
<
2
s
{\displaystyle 2r<r+s<2s}
⇒
1
2
⋅
2
r
<
1
2
⋅
(
r
+
s
)
<
1
2
⋅
2
s
{\displaystyle \Rightarrow {\frac {1}{2}}\cdot 2r<{\frac {1}{2}}\cdot (r+s)<{\frac {1}{2}}\cdot 2s}
⇒
2
2
r
<
r
+
s
2
<
2
2
s
{\displaystyle \Rightarrow {\frac {2}{2}}r<{\frac {r+s}{2}}<{\frac {2}{2}}s}
⇒
r
<
r
+
s
2
<
s
{\displaystyle \Rightarrow r<{\frac {r+s}{2}}<s}
Podemos passar um número racional
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
para a forma decimal dividindo o inteiro
a
{\displaystyle a}
pelo inteiro
b
{\displaystyle b}
, com isso podemos obter dois casos:
1
∘
)
{\displaystyle 1^{\circ })}
Um número decimal que tem uma quantidade finita de algarismos, diferentes de zero, isto é, uma decimal exata. Exemplos:
5
1
=
5
{\displaystyle {\frac {5}{1}}=5}
,
1
20
=
0
,
05
{\displaystyle {\frac {1}{20}}=0,05}
e
27
1000
=
0
,
027
{\displaystyle {\frac {27}{1000}}=0,027}
2
∘
)
{\displaystyle 2^{\circ })}
Um número decimal que tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente, isto é, uma dízima periódica. Exemplos:
1
3
=
0
,
333
⋯
=
0
,
3
¯
⇒
{\displaystyle {\frac {1}{3}}=0,333\cdots =0,{\bar {3}}\quad \Rightarrow }
dízima periódica simples
2
7
=
0
,
285714285714
⋯
=
0
,
285714
¯
⇒
{\displaystyle {\frac {2}{7}}=0,285714285714\cdots =0,{\overline {285714}}\quad \Rightarrow }
dízima periódica simples
11
6
=
1
,
8333
⋯
=
1
,
8
3
¯
⇒
{\displaystyle {\frac {11}{6}}=1,8333\cdots =1,8{\bar {3}}\quad \Rightarrow }
dízima periódica composta
Todo número na forma de decimal exata ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração
a
b
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}
, portanto, representa um número racional.
Quando a decimal é exata, podemos escrevê-lo em forma de fração, cujo numerador é o numeral decimal sem a vírgula e, cujo denominador é o algarismo
1
{\displaystyle 1}
seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado. Exemplo:
0
,
37
=
37
100
{\displaystyle 0,37={\frac {37}{100}}}
2
,
631
=
2631
1000
{\displaystyle 2,631={\frac {2631}{1000}}}
Quando a decimal é uma dízima periódica, temos que procurar sua geratriz. Exemplos:
i
)
0
,
777
⋯
{\displaystyle i)\quad 0,777\cdots }
x
=
0
,
777
⋯
10
x
=
7
,
777
⋯
}
⇒
10
x
−
x
=
7
,
777
−
0
,
777
⇒
9
x
=
7
⇒
x
=
7
9
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=0,777\cdots \\10x&=7,777\cdots \\\end{aligned}}{\bigg \}}\Rightarrow 10x-x=7,777-0,777\Rightarrow 9x=7\Rightarrow x={\frac {7}{9}}}
i
i
)
6
,
4343
⋯
{\displaystyle ii)\quad 6,4343\cdots }
x
=
6
,
434343
⋯
100
x
=
643
,
434343
⋯
}
⇒
100
x
−
x
=
643
−
6
⇒
99
x
=
637
⇒
x
=
637
99
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=6,434343\cdots \\100x&=643,434343\cdots \\\end{aligned}}{\bigg \}}\Rightarrow 100x-x=643-6\Rightarrow 99x=637\Rightarrow x={\frac {637}{99}}}
i
i
i
)
2
,
57919191
⋯
{\displaystyle iii)\quad 2,57919191\cdots }
x
=
2
,
57919191
⋯
{\displaystyle x=2,57919191\cdots }
100
x
=
257
,
919191
⋯
10000
x
=
25791
,
919191
⋯
}
⇒
10000
x
−
100
x
=
25791
−
257
⇒
9900
x
=
25534
⇒
x
=
25534
9900
{\displaystyle {\begin{aligned}100x&=257,919191\cdots \\10000x&=25791,919191\cdots \\\end{aligned}}{\bigg \}}\Rightarrow 10000x-100x=25791-257\Rightarrow 9900x=25534\Rightarrow x={\frac {25534}{9900}}}