Распределение Дирихле

В теории вероятностей и математической статистике распределение Дирихле (по имени Иоганна Петера Густава Лежён-Дирихлe), часто обозначаемое $\operatorname {Dir} (\alpha )$, — это семейство непрерывных многомерных вероятностных распределений, параметризованных вектором α неотрицательных вещественных чисел. Распределение Дирихле является обобщением Бета-распределения на многомерный случай. То есть, его функция плотности вероятности возвращает доверительную вероятность того, что вероятность каждого из $K$ взаимоисключающих событий равна $x_{i}$ при условии, что каждое событие наблюдалось $\alpha _{i}-1$ раз.

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности для распределения Дирихле порядка K есть

$f(x_{1},\dots ,x_{K};\alpha _{1},\dots ,\alpha _{K})={\frac {1}{\operatorname {B} (\alpha )}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1},$

где $x_{i}\geqslant 0$, $\sum _{i=1}^{K}x_{i}=1$, $\alpha _{i}>0$, а $\operatorname {B} (\alpha )={\frac {\prod \limits _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}{\Gamma \left(\sum \limits _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}}$ — многомерная бета-функция, где $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}).$

Свойства

Пусть $X=(X_{1},\ldots ,X_{K})\sim \operatorname {Dir} (\alpha )$ и $\alpha _{0}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i},$ тогда

$\operatorname {E} [X_{i}\mid \alpha ]={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{0}}},$

$\operatorname {Var} [X_{i}\mid \alpha ]={\frac {\alpha _{i}(\alpha _{0}-\alpha _{i})}{\alpha _{0}^{2}(\alpha _{0}+1)}},$

$\operatorname {Cov} [X_{i}X_{j}\mid \alpha ]={\frac {-\alpha _{i}\alpha _{j}}{\alpha _{0}^{2}(\alpha _{0}+1)}}.$

Модой распределения является вектор $x=(x_{1},\dots ,x_{K})$ с

$x_{i}={\frac {\alpha _{i}-1}{\alpha _{0}-K}},\quad \alpha _{i}>1.$

Распределение Дирихле является сопряжённым априорным распределением к мультиномиальному распределению, а именно, если

$\beta \mid X=(\beta _{1},\ldots ,\beta _{K})\mid X\sim \operatorname {Mult} (X),$

где β_i — число вхождений i в выборку из n точек дискретного распределения на {1, …, K} определённого через X, то

$X\mid \beta \sim \operatorname {Dir} (\alpha +\beta ).$

Эта связь используется в Байесовской статистике для того, чтобы оценить скрытые параметры X дискретного вероятностного распределения, имея набор из n выборок. Очевидно, что если априорное распределение обозначено как Dir(α), то Dir(α + β) есть апостериорное распределение после серии наблюдений с гистограммой β.

Связи с другими распределениями

Если для $i\in \{1,2,\ldots ,K\},$

$Y_{i}\sim \operatorname {Gamma} ({\textrm {shape}}=\alpha _{i},{\textrm {scale}}=1)$ независимо, то

$V=\sum _{i=1}^{K}Y_{i}\sim \operatorname {Gamma} ({\textrm {shape}}=\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i},{\textrm {scale}}=1),$

и

$(X_{1},\ldots ,X_{K})=(Y_{1}/V,\ldots ,Y_{K}/V)\sim \operatorname {Dir} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K}).$

Несмотря на то, что X_i не являются независимыми друг от друга, они могут быть сгенерированы из набора из $K$ независимых гамма случайных величин. К несчастью, так как сумма $V$ теряется в процессе формирования X = (X₁, …, X_K), становится невозможно восстановить начальные значения гамма случайных величин только по этим значениям. Тем не менее, благодаря тому, что работать с независимыми случайными величинами проще, это преобразование параметров может быть полезно при доказательстве свойств распределения Дирихле.

Генерация случайных чисел

Метод построения случайного вектора $x=(x_{1},\ldots ,x_{K})$ для распределения Дирихле размерности K с параметрами $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{K})$ следует непосредственно из этой связи. Сначала получим K независимых случайных выборок $y_{1},\ldots ,y_{K}$ из гамма-распределений, каждое из которых имеет плотность

${\frac {y_{i}^{\alpha _{i}-1}\;e^{-y_{i}}}{\Gamma (\alpha _{i})}},$

а затем положим

$x_{i}=y_{i}\left/\sum _{j=1}^{K}y_{j}\right..$

Наглядная трактовка параметров

В качестве примера использования распределения Дирихле можно предложить задачу, в которой требуется разрезать нитки (каждая начальной длины 1,0) на K частей с разными длинами так, чтобы все части имели заданную среднюю длину, но с возможностью некоторой вариации относительных длин частей. Значения α / α₀ определяют средние длины частей нитки, получившиеся из распределения. Дисперсия вокруг среднего значения обратно пропорциональна α₀.

См. также

• Бета-распределение
• Биномиальное распределение
• Мультиномиальное распределение

Литература

• М. де Гроот Оптимальные статистические решения = Optimal Statistical Decisions. — М.: Мир, 1974. — 492 с.