Участник:МетаСкептик12/Песочница

भोग्य bhogya полезный विकल vikala обрубок, несовершенство काण्ड khanda кусок स्फुट sphuta правильный गत gata ушедший, прошлый

Последние две строки, которые Владимир Семёнович Высоцкий написал 20 июля 1980 года.

Мне есть что спеть, представ перед Всевышним,

Мне есть чем оправдаться перед Ним.

— Проза.зу

В математике Константа Ландау—Рамануджана является результатом теории чисел о плотности сумм двух квадратов целых чисел на числовой оси. Эта теорема была доказана независимо Эдмундом Ландау и Сринавасой Рамануджаном.

Теорема о плотности сумм двух квадратов

Если $N(x)$ число целых на отрезке $[1,x]$, которые являются суммой двух квадратов целых чисел, то

$N(x)={\frac {Cx}{\sqrt {\ln(x)}}}(1+o(1)),$

где $C$ - константа пропорциональности Ландау—Рамануджана

$C=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {N(x){\sqrt {\ln(x)}}}{x}}\approx 0,76422365358922066299069873125,$

Точность приближения целого суммой двух квадратов

Из теоремы Ландау—Рамануджана следует, что целое число может быть приближено суммой двух квадратов с точностью не более ${\frac {\sqrt {\ln(x)}}{C}}(1+o(1))$. Известная сегодня (2013) тривиальная оценка точности такого приближения сверху — $O(x^{1/4})$. Со времен Эйлера существует гипотеза о том, что

$\min _{u,w\in Z}|x-u^{2}-w^{2}|\leq x^{\epsilon }$,

где $\epsilon >0,\epsilon$– любое, $x\geq x_{1}(\epsilon )$.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Landau–Ramanujan Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• последовательность A064533 в OEIS

Категория:Теория чисел