Usuària:Mzamora2/Interès compost

Plantilla:Usuaruficat L'interès compost apareix quan l'interès s'afegeix al capital, de forma que es passa a cobrar interessos d'aquests diners. Aquest augment del capital a causa de l'acumulació dels interessos s'anomena compondre (o, dit d'una altra forma, l'interès s'ha compost). Un préstec, per exemple, pot tenir interès compost cada mes, en aquest cas, un préstec de 100€ i un 1% d'interès mensual tindrà 101€ al cap del primer mes, 102,01€ després del segon mes i, així, successivament.

Per tal de definir completament el tant per cent d'interès i permetre poder comparar amb altres interessos, cal saber el tant per cent d'interès i i la freqüència amb què es compon. La majoria de la gent prefereix pensar en interessos anuals. Molts governs obliguen a les entitats financeres a proporcionar la taxa anual equivalent (TAE) en els dipòsits. Per exemple, la taxa anual per un préstec en l'exemple anterior és aproximadament 12,68%. Aquesta taxa s'anomena tal com hem dit taxa anual equivalent (TAE). Quan es cobra una mensualitat d'un préstec una part de la mensualitat són els interessos a pagar i la resta els diners que es retornen dels diners del préstec. La TAE ajuda als consumidors a comparar d'una forma més fàcil els costos reals de diferents préstecs.

Per a cada taxa d'interès i freqüència de pagament (mensual, bimensual...) es pot calcular la seva corresponent TAE.

L'interès compost és diferent de l'interès simple. A l'interès simple els diners generats com a rendiment no s'afegeixen a la quantitat de diners inicials (no hi ha composició). L'interès compost és el que es fa servir habitualment en finances i economia, i l'interès simple es fa servir poc (malgrat que alguns productes financers poden contenir elements d'interès simple).

Terminologia

L'efecte de compondre depèn de la freqüència amb què es compon l'interès i de la taxa d'interès utilitzada. Així que, per a poder definir la quantitat a pagar en un préstec cal saber la freqüència amb la qual es compon (anualment, semestralment, trimestralment, mensualment, diàriament, etc.) i cal especificar la taxa d'interès. Es poden utilitzar diferents convencions d'un país a un altre, però en finances i economia les utilitzacions més comunes són:

Taxa periòdica: l'interès que es carrega (i després es compon) a cada període, dividit per la quantitat dipositada. La taxa periòdica es fa servir bàsicament per fer càlculs i no es fa servir gaire per comparar. La taxa anual nominal o la taxa d'interès nominal es defineix com la taxa periòdica multiplicada per la quantitat de períodes compostos per any. Per exemple, un 12% d'interès anual nominal compost mensualment té una taxa mensual de l'1%.

La taxa anual equivalent: aquest concepte reflecteix la taxa efectiva com si s'apliqués l'interès compost anual. Dit d'una altra manera, és l'interès total acumulat que es pagaria al final d'un any.

Generalment els economistes prefereixen utilitzar la taxa anual equivalent per poder fer comparacions. En finances i comerç es pot utilitzar la taxa anual nominal. Això no vol dir que no es pugui utilitzar la taxa nominal anual. Quan en un préstec es fa servir juntament amb la freqüència composta amb una taxa nominal anual (l'efecte de l'interès d'un determinat préstec es pot calcular amb precisió), però la taxa nominal no es pot comparar directament amb la de préstecs que tenen una freqüència composta diferent.

Els préstecs i les finances poden tenir altres càrregues que no siguin degudes a l'"interès" (el paràgraf anterior no intenta mostrar aquestes diferències). Altres termes com taxa percentual anual i percentatge de rendiment anual són definicions legals específiques i poden ser comparables o no, depenent de la jurisdicció.

La utilització dels termes anteriors (i d'altres de similars) poden ser inconsistents, i poden variar depenent dels arancels locals o les demandes del mercat, per simplicitat o per altres raons.

Excepcions

• Les T-Bills dels Estats Units i Canadà (deute de l'Estat a curt terme) tenen una convenció diferent. El seu interès es calcula com (100 − P)/Pbnm, on P és el preu pagat. En lloc de normalitzar-lo a un any, l'interès és proratejat pel nombre de dies t: (365/t)×100. (Vegeu day count convention).
• The interès en els bons corporatius i els bons del govern se sol pagar dues vegades any. La quantitat d'interès pagat (cada sis mesos) és la taxa d'interès dividit per dos (multiplicat per la quantitat inicial). La taxa anual composta és superior a la taxa revelada.
• Al Canadà els pagaments de les hipoteques són generalment semianuals amb capitalització mensual (o més freqüent).
• EUA hipoteques generalment usen compostos mensualment (amb terminis de pagament corresponent).
• Les hipoteques als Estats Units utilitzen generalment interès compost mensual (amb períodes de pagament corresponents.
• De vegades és més senzill en termes matemàtics, e.g. en l'avaluació de derivades utilitzar la composició continua, que és el límit quan el període de composició s'aproxima a zero. La composició contínua és una conseqüència natural de Itō calculus, on les derivades es valoren en qualsevol freqüència creixent, fins que el límit s'aproxima i la derivada s'avalua de manera contínua en el temps.

Matemàtiques de les taxes d'interès

Càlcul simplificat

Les fórmules es presenten detalladament en el valor monetari del temps.

En la fórmula de sota, i és la taxa efectiva d'interès per període. FV i PV representen els valors futurs i actuals d'una suma. n representa el nombre de períodes.

Aquestes són les fórmules més bàsiques:

$FV=PV(1+i)^{n}\,$

L'anterior calcula el valor futur FV del present valor d'una inversió PV procedents d'una taxa d'interès fixa d'i per n períodes.

$PV={\frac {FV}{\left(1+i\right)^{n}}}\,$

L'anterior calcula quin valor actual PV caldria per a produir un determinat valor futur FV si l'interès de 'i procedeix de n períodes.

$i=\left({\frac {FV}{PV}}\right)^{\frac {1}{n}}-1$

L'anterior calcula la taxa d'interès compost que s'obté si tenim una inversió inicial de PV i obtenim un valor de FV després de n períodes.

$n={\frac {\log(FV)-\log(PV)}{\log(1+i)}}$

La fórmula anterior calcula el nombre de períodes requerits per obtenir FV donat PV i la taxa d'interès i. La funció log es pot utilitzar en qualsevol base, e.g. logaritme natural o logaritme neperià.

Compost

Fórmula per calcular l'interès compost:

$A=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}$

On,

* P = quantitat inicial (inversió inicial)
* r = taxa d'interès anual nominal (de forma decimal)
* n = nombre de vegades que es compon l'interès cada any
* t = nombre d'anys
* A = quantitat després d'un temps t

Exemple d'ús: Una quantitat de $1500.00 es diposita en un banc que paga una taxa d'interès anual del 4,3%, compost trimestralment. Trobar la quantitat final després de 6 anys.

A. Utilitzant la fórmula anterior, amb P = 1500, r = 4.3/100 = 0.043, n = 4, and t = 6:

$A=1500\left(1+{\frac {0.043}{4}}\right)^{4\times 6}=1938.84$

Per tant, la quantitat final després de 6 anys és aproximadament $1,938.84.

Composició periòdica

La funció quantitat per a un interès compost és una funció exponencial amb variable independent el temps.

$A(t)=A_{0}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}$

• $t$ = Temps total en anys
• $n$ = Nombre de períodes que es componen per any (cal notar que el nombre total de períodes compostos és $n\cdot t$)
• $r$ = taxa d'interès anual nominal expressada com a decimal. e.g.: 6% = 0.06

Quan $n$ augmenta, la taxa s'apropa a un límit superior de $e^{r}$. Aquesta taxa s'anomena composició contínua, vegis a baix. El principal A(0) és simplement un coeficient, s'elimina sovint per tal de simplificar, i la funció acumulada resultant es fa servir en la teoria de l'interès. Les funcions d'acumulació per a l'interès simple i compost s'especifiquen a continuació:

$a(t)=1+tr\,$

$a(t)=\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}$

Atenció: A(t) és la funció quantitat i a(t)és la funció acumulació.

Composició contínua

Es pot pensar el fet de compondre contínuament com si el període es fes infinitament petit; per tant es pot calcular trobant el límit quan n tendeix a infinit. Cal consultar les definicions de la funció exponencial per obtenir la prova matemàtica d'aquest límit.

$a(t)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}$

$a(t)=e^{rt}$

La funció capital és simplement

$A(t)=A_{0}e^{rt}$

La taxa d'interès expressada com una taxa composta de manera contínua s'anomena la força de l'interès. La força anual de l'interès és simplement 12 vegades la força mensual de l'interès.

La taxa d'interès equivalent per any és

$i=e^{r}-1$

Usant aquesta i la funció capital es pot escriure com:

$A(t)=A_{0}(1+i)^{t}$

o

$A=P(1+i)^{t}$

Vegeu també retorn compost logarítmicament o contínuament.

Força d'interès

Plantilla:E (constant matemàtica) En matemàtiques, les funcions acumulació s'expressen en termes de 'e, la base del logaritme natural. Això facilita l'ús de mètodes de càlcul per les fórmules d'interès.

Sigui a(t) la força de l'interès una funció d'acumulació diferenciable, o més generalment el retorn compost logarítmicament o contínuament és una funció del temps definida de la següent manera:

$\delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}\,$

que és la taxa de variació utilitzant el logaritme natural del temps de la funció acumulació.

D'altra manera:

$a(n)=e^{\int _{0}^{n}\delta _{t}\,dt}\,$ (per tant $a(0)=1$)

Quan la fórmula anterior s'escriu en forma d'equació diferencial, la força de l'interès és simplement el coeficient de la quantitat de canvi.

$da(t)=\delta _{t}a(t)\,dt\,$

Per a l'interès compost amb una taxa anual d'interès constant r la força de l'interès és una constant, i la funció d'acumulació de l'interès compost en termes de la força de l'interès és una potència d'e:

$\delta =\ln(1+r)\,$

$a(t)=e^{t\delta }\,$

La força de l'interès és menor que la taxa d'interès equivalent anual, però major que la taxa de descompte efectiu anual. És l'invers del temps e-folding. Vegeu també notació de les taxes d'interès.

Bases de la composició

Vegeu Convenció de la manera de comptar els dies

Per a convertir una taxa d'interès d'una base composta a una altra, s'aplica la següent fórmula:

$r_{2}=\left[\left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{\frac {n_{1}}{n_{2}}}-1\right]n_{2}$

on 'r₁ és la taxa d'interès amb freqüència composta n₁ i r₂ és la taxa d'interès amb freqüència composta n₂.

Quan l'interès és de composició continua:

$R=n\ln {\left(1+r/n\right)}$

on

R és la taxa d'interès en una base de composició continua i

r és la taxa d'interès amb freqüència composta n.

Pagament mensual d'hipoteques als U.S.

L'interès de les hipoteques als U.S. es compon mensualment. La fórmula pels pagaments es basa en el següent:

Fórmula exacta per P

I = Taxa percentual de (Note percentage rate)

i = Taxa percentual mensual = I/12 (llavors el APR = (1+i)^12)

T = Període en anys

Y= IT

X = 1/2 I T = 1/2 Y

n = 12 T = període en mesos

L = Quantitat del préstec

P = pagament mensual

Si el període fos únicament un mes, llavors

$(1+i)L=P$

així $L={\frac {P}{1+i}}$. Si el període fos dos mesos llavors $(1+i)((1+i)L-P)=P$ per tant, $L={\frac {P}{1+i}}+{\frac {P}{(1+i)^{2}}}$. Per a un període de n mesos tenim $L=P\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(1+i)^{j}}}$.

Es pot simplificar utilitzant l'expressió: $(1+i)L=P\sum _{j=0}^{n-1}{\frac {1}{(1+i)^{j}}}$ i fent la resta: $(1+i)L-L=iL=P\left(1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right)$ s'obté

$P={\frac {Li}{1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}}}={\frac {Li}{1-e^{-n\ln(1+i)}}}$

Aquesta fórmula pels pagaments mensuals en una hipoteca als U.S. és exacta i és la que utilitzen els bancs.

Fórmula aproximada per a P

Una fórmula acurada fins a un tant per cent petit es pot obtenir tenint en compte que per a uns interessos típics d'un préstec personal als U.S. ($I<8\%$ i períodes (T=10-30 anys), i la taxa dels préstecs personals mensuals és petita comparat amb 1: $i\ll 1$ per tant $\ln(1+i)\approx i$ i al simplificar $P\approx {\frac {Li}{1-e^{-ni}}}={\frac {L}{n}}{\frac {ni}{1-e^{-ni}}}$

cosa que fa que es defineixin variables auxiliars

$Y\equiv ni=TI$

$P_{0}\equiv {\frac {L}{n}}$.

$P_{0}$ és el pagament mensual que cal pagar per a un interès 0 en $n$ quotes. En funció d'aquestes variables l'aproximació es pot escriure

$P\approx P_{0}{\frac {Y}{1-e^{-Y}}}$

La funció $f(Y)\equiv {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}-{\frac {Y}{2}}$ és parell: $f(Y)=f(-Y)$ cosa que implica que es pot escriure en potències parelles de $Y$. Directament es dedueix que ${\frac {Y}{1-e^{-Y}}}$ es pot expandir en potències parells de $Y$ més el terme: $Y/2$

Definim

$X={\frac {1}{2}}Y={\frac {1}{2}}IT$

per tant $P\approx P_{0}{\frac {2X}{1-e^{-2X}}}$ que es pot escriure: $P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}-{\frac {1}{45}}X^{4}+\dots \right)$

on els punts suspensius indiquen termes que són d'ordre superior en potències parells de $X$. L'expansió

$P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}\right)$

és vàlida amb un error menor que 1% $X\leq 1$.

Exemple

Per a una hipoteca a pagar en 30 anys i a una taxa d'interès del 4,5% es té:

$T=30$

$I=.045$

$X={\frac {1}{2}}IT={\frac {1}{2}}\times .045\times 30=.675$

l'aproximació

$P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {1}{3}}X^{2}\right)$ l'ordre de precisió és millor que un u percentual per a una hipoteca típica als U.S. el gener de 2009. La fórmula és menys precisa per a taxes més elevades i per a períodes més llargs.

Per un préstec de $120.000 a 30 anys i amb una taxa d'interès d'un 4,5% es veu que:

$L=120000$

$P_{0}={\frac {\$120,000}{360}}=\$333.33$

per tant

$P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {1}{3}}X^{2}\right)=\$333.33(1+.675+.675^{2}/3)=\$608.96$

La quantitat exacta a pagar és $P=\$608.02$ per tant l'aproximació és una estimació per excés d'aproximadament el sis per cent.

Altres aproximacions

La fórmula d'aproximació $P\approx P_{0}{\frac {Y}{1-e^{-Y}}}$ yields $P_{0}\approx \$607.47$ que és una estimació per defecte del valor exacte. Aquesta aproximació prové de l'aproximació $\ln(1+i)\approx i$. Tenint en compte la següent correcció en l'expansió de $\ln(1+i)\approx i-i^{2}/2+\ldots$ resulta la fórmula aproximada $P\approx P_{0}{\frac {Y}{1-e^{-Y}e^{iY/2}}}=\$608.018$ que és menor que dues desenes d'una centena. L'aproximació més senzilla que s'ha tractat $P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {1}{3}}X^{2}\right)$

és bona fins i tot millor que un percentatge típic de les hipoteques estadounidenques a principis del 2009. L'aproximació $P\approx P_{0}(1+X)$ és una estimació per defecte al voltant d'un 10% per aquestes hipoteques

Història

L'interès compost s'havia considerat com la pitjor manera de fer usura, i la llei romana el va condemnar amb duresa, així com les lleis habituals de molts altres països.

El llibre de Richard Witt Arithmeticall Questions, publicat el 1613, va ser una fita molt important en la història de l'interès compost. Estava completament dedicat al tema (anteriorment anomenat anatocism), atès que els escriptors anteriors havien tractat l'interès compost molt breument en un únic capítol en els llibres de matemàtiques. El llibre de Witt dóna taules basades en el 10% (la taxa màxima d'interès permesa en els préstecs) i en altres taxes per diferents objectius, com ara la valoració dels contractes d'arrendament de propietat. Witt va ser un londinenc que feia servir les matemàtiques i el seu llibre va ser important per la claredat de la seva expressió, profunditat dels temes que tractava i precisió en els càlculs, amb 124 exemples.

L'Alcorà qualifica l'interès compost com un gran pecat. Usura (interès opressiu), conegut a Aràbia com "riba", es considera un error:

“	O aquells qui creuen! No devoreu la usura, duplicant o quadruplicant (la suma prestada). Observa el teu deure envers Allah, en el qual pots tenir èxit.	”
	— Alcorà 3:130

En un passatge de la Bíblia denota la suma de l'interès de la següent manera:

“	No li facis usura; però sigues temerós del teu Deu, que el teu germà pugui viure amb tu. No li has de prestar els teus diners amb usura, no li deixis el teu menjar amb l'objectiu de tenir un benefici.	”
	—

Enllaços externs

• Find how a savings bank account earns interes when compounded continuously
• Practice using Compound Interes Formula
• Compound interes, what it is and why you want it on your side