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La cinétique (physique) est une théorie définissant le mouvement des particules dans un référentiel en tenant compte de leur inertie ; on distingue :

• la cinétique classique (ou newtonienne) qui restreint l'étude aux particules non relativistes [dans ce cas la cinétique classique est la réunion de la cinématique classique et de la notion de grandeur inertielle adaptée - principalement la masse (inerte)] et
• la cinétique relativiste qui s'applique à toutes les particules qu'elles soient relativistes ou non [la cinétique relativiste inclut donc la cinétique classique, cette dernière étant la limite de la première aux faibles vitesses (approximativement $<{\tfrac {c}{10}}$, $c$ étant la vitesse de la lumière dans le vide)], mais son introduction devient incontournable dès lors que les vitesses sont de valeurs non faibles voire maximales [pour ces dernières particules se déplaçant à la vitesse de la lumière n'ayant pas de masse et étant de même cinématique, seule la cinétique permet de les distinguer entre elles d'où le caractère incontournable de cette notion].

On définit trois grandeurs cinétiques pour décrire le mouvement d'une particule dans un référentiel en tenant compte de son inertie :

• la résultante cinétique (ou quantité de mouvement) notée « ${\vec {p}}$ » s'écrivant
  • en cinétique classique « ${\vec {p}}=m{\vec {v}}$ où $m>0$ est la masse de la particule et ${\vec {v}}$ sa vitesse » (avec « $\lVert {\vec {v}}\rVert \ll c$ » correspondant pratiquement à « $\lVert {\vec {v}}\rVert <{\tfrac {c}{10}}$ »),
  • en cinétique relativiste pour une particule ayant une « masse $m>0$ » et une « vitesse ${\vec {v}}$ » (avec $\lVert {\vec {v}}\rVert <c$ - la vitesse $c$ ne pouvant pas être atteinte pour des particules de masse non nulle) « ${\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}$ où $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\lVert {\vec {v}}\rVert ^{2}}{c^{2}}}}}}$ est appelé facteur de Lorentz de la particule » (pour une particule de « masse $m\rightarrow 0$, $\lVert {\vec {v}}\rVert \rightarrow c\Rightarrow \gamma \rightarrow \infty$ » rendant la formule « inapplicable dans le cas limite des particules de masse nulle »),
  • en cinétique relativiste des particules de masse nulle (essentiellement des photons) « il n'y a pas de lien entre ${\vec {p}}$ et ${\vec {v}}={\vec {c}}$ », la première étant de norme variable et la seconde de norme constante ;
  • dans tous les cas la norme de la résultante cinétique s'exprime en « $kg\!\cdot \!m\!\cdot \!s^{-1}$ » dans le système international d'unités (ou $S.I.$)

• le moment cinétique (relativement à un point $O$ du référentiel) noté « ${\vec {\sigma }}_{O}$ (ou ${\vec {L}}_{O}$) » étant défini comme le moment de la quantité de mouvement calculé par rapport à $O$ (grandeur définie à partir du produit vectoriel de deux vecteurs) « ${\vec {\sigma }}_{O}={\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {p}}$ où $M$ est la position de la particule à l'instant considéré » ; cette définition est valable en cinétique classique ou relativiste, quelle que soit la valeur de la masse de la particule ; la norme du moment cinétique s'exprime en « $kg\!\cdot \!m^{2}\!\!\cdot \!s^{-1}$ » dans le $S.I.$ ;
  • cette grandeur cinétique est particulièrement utile en cinétique classique quand la particule a un mouvement de rotation de rayon « $r$ » autour du point $O$, de « vecteur rotation ${\vec {\Omega }}$ » (ou résultante du torseur cinématique) « ${\vec {\Omega }}=\omega \,{\vec {u}}_{\Delta }$ où $\omega$ est la vitesse angulaire de rotation autour de l'axe $\Delta$ passant par $O$ et ${\vec {u}}_{\Delta }$ le vecteur unitaire de l'axe définissant le sens positif de rotation », on a alors « ${\vec {\sigma }}_{O}=J_{\Delta }\,{\vec {\Omega }}$ où $J_{\Delta }=m\,r^{2}$, exprimé en $kg\!\cdot \!m^{2}$, est appelé moment d'inertie de la particule relativement à l'axe $\Delta$ » ; la norme du vecteur rotation doit être exprimée en « $rad\!\cdot \!s^{-1}$ » ;
• l'énergie cinétique (seule grandeur scalaire parmi les trois) notée « $E_{c}$ (ou $E_{k}$ ou encore $K$) » s'écrivant
  • en cinétique classique « $E_{c}={\frac {{\vec {p}}\,^{2}}{2m}}={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}\,^{2}$ »,
  • en cinétique relativiste pour une particule de « masse $m>0$ », de « vitesse ${\vec {v}}$ » (avec « $\lVert {\vec {v}}\rVert <c$ ») et de facteur de Lorentz « $\gamma >1$ » (en effet $\lVert {\vec {v}}\rVert >0\Rightarrow \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\lVert {\vec {v}}\rVert ^{2}}{c^{2}}}}}}>1$) « $E_{c}={\sqrt {m^{2}c^{4}+{\vec {p}}\,^{2}c^{2}}}-mc^{2}=(\gamma -1)\,m\,c^{2}$ » (ainsi, pour une particule de « masse $m\rightarrow 0$, $\lVert {\vec {v}}\rVert \rightarrow c\Rightarrow \gamma \rightarrow \infty$ » rendant la deuxième expression de la formule « inapplicable dans le cas limite des particules de masse nulle »), [le plus souvent on remplace l'utilisation de l'énergie cinétique « $E_{c}$ » par l'énergie totale « $E$ » qui est l'énergie cinétique décalée d'une constante égale à l'énergie de masse « $E_{0}=m\,c^{2}$ » c.-à-d. « $E=E_{0}+E_{c}=m\,c^{2}+\left(\gamma -1\right)m\,c^{2}$ » soit « $E=\gamma \,m\,c^{2}$ »],
  • en cinétique relativiste des particules de masse nulle « $E_{c}=\lVert {\vec {p}}\rVert \,c$ » (pouvant être considéré comme la limite de la première expression de la formule de l'énergie cinétique des particules relativistes quand $m\rightarrow 0$) ;
  • dans tous les cas l'énergie cinétique s'exprime en Joule de symbole « $J=kg\!\cdot \!m^{2}\!\!\cdot \!s^{-2}$ » dans le $S.I.$.

Pour un système discret ou continu de particules, les trois grandeurs cinétiques « résultante, moment ou énergie » sont additives, c.-à-d. que la résultante (ou le moment ou l'énergie) se calcule, suivant le caractère discret ou continu du système, par somme ou par intégrale des quantités de mouvement (ou des moments ou des énergies) de chaque particule.

Cinétique d'une particule :

La cinétique (du point matériel) apparaît sous sa forme classique avec Isaac Newton (1643 - 1727) ; plus de deux siècles plus tard - en 1905 - Albert Einstein (1879 - 1955) crée la cinétique des particules matérielles sous sa forme relativiste ainsi que celle du photon (base de la cinétique des particules sans masse).

Cinétique classique (ou newtonienne) :

Cette cinétique s'applique aux particules ayant une « masse $m>0$ » et de « vitesse ${\vec {v}}$ telle que $\lVert {\vec {v}}\rVert \ll c$ » (où « $c$ » est la vitesse de la lumière dans le vide, ce qui correspond approximativement à « $\lVert {\vec {v}}\rVert \lesssim {\tfrac {c}{10}}$ » et plus précisément à « $\lVert {\vec {v}}\rVert \lesssim 0,14\;c\simeq 42000\;km\!\cdot \!s^{-1}$ » à 1 % près, la justification est donnée ici et là) ; bien que la masse d'une particule soit invariante par changement de référentiel, la cinétique - comme la cinématique - dépend du référentiel.

Pour toute particule matérielle et dans tout référentiel on définit trois grandeurs cinétiques, deux vectorielles « sa quantité de mouvement » ainsi que « son moment cinétique relativement à O (point fixe ou mobile du référentiel) », une scalaire « son énergie cinétique ».

Quantité de mouvement :

« ${\vec {p}}=m{\vec {v}}$ »

Dans le système international d'unités (ou $S.I.$) la masse s'exprime en « $kg$ », la norme de la vitesse en « $m\!\cdot \!s^{-1}$ » et celle de la quantité de mouvement en « $kg\!\cdot \!m\!\cdot \!s^{-1}$ ».

Formellement la grandeur cinétique « ${\vec {p}}$ » est le produit de la grandeur cinématique « ${\vec {v}}$ » et de la grandeur d'inertie « $m$ ».

Moment cinétique relativement à O :

« ${\vec {\sigma }}_{O}={\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {p}}={\overrightarrow {OM}}\wedge m{\vec {v}}$ » (encore noté « ${\vec {L}}_{O}$ ») où « ${\overrightarrow {OM}}$ » est

le vecteur position de la particule à l'instant considéré (si $O$ est l'origine du repère) [ce qui est considéré par la suite],

le vecteur déplacement de $M$ relativement à $O$ si ce dernier - fixe ou mobile - n'est pas l'origine du repère).

Dans le système international d'unités (ou $S.I.$) la norme de la quantité de mouvement s'exprime en « $kg\!\cdot \!m\!\cdot \!s^{-1}$ », celle du vecteur position en « $m$ » et celle du moment cinétique relativement à $O$ en « $kg\!\cdot \!m^{2}\!\cdot \!s^{-1}$ ».

Cas d'un mouvement rectiligne :

Si on choisit l'origine $O$ de calcul des moments sur la trajectoire de la particule, on a « ${\overrightarrow {OM}}\parallel {\vec {p}}$ » et, par définition du produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires « ${\vec {\sigma }}_{O}={\vec {0}}$ ».

Cas d'un mouvement circulaire :

Expression du vecteur vitesse en fonction des vecteurs position et rotation :

Dans le cas d'un mouvement circulaire de centre $O$ et de vecteur rotation ${\vec {\Omega }}$ (ou résultante du torseur cinématique), le vecteur vitesse ${\vec {v}}$ de la particule positionnée en $M$ à l'instant considéré s'exprime selon :

« ${\vec {v}}={\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}$ ».

Expression du moment cinétique en O :

Si on reporte l'expression du vecteur vitesse dans la définition du moment cinétique en $O$ on obtient « ${\vec {\sigma }}_{O}={\overrightarrow {OM}}\wedge m\left({\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}\right)$ » ou encore ${\vec {\sigma }}_{O}=m\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge \left({\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}\right)\right]$ et, en utilisant la formule du double produit vectoriel « ${\vec {A}}\wedge \left({\vec {B}}\wedge {\vec {C}}\right)=\left({\vec {A}}\cdot {\vec {C}}\right){\vec {B}}-\left({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}\right){\vec {C}}$ », cela donne « ${\overrightarrow {OM}}\wedge \left({\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}\right)=\left({\overrightarrow {OM}}\cdot {\overrightarrow {OM}}\right){\vec {\Omega }}-{\cancel {\left({\overrightarrow {OM}}\cdot {\vec {\Omega }}\right){\overrightarrow {OM}}}}=r^{2}\,{\vec {\Omega }}$ » car « ${\overrightarrow {OM}}\perp {\vec {\Omega }}\quad {\text{et}}\quad \lVert {\overrightarrow {OM}}\rVert =r$ » ; finalement :

« ${\vec {\sigma }}_{O}=J_{\Delta }\;{\vec {\Omega }}$ » avec « $J_{\Delta }=m\,r^{2}$ » appelé « moment d'inertie de la particule relativement à l'axe de rotation $\Delta$ ».

Dans le système international d'unités (ou $S.I.$) le moment d'inertie s'exprime en « $kg\!\cdot \!m^{2}$ ».

Le moment d'inertie est une deuxième grandeur d'inertie introduite (la première étant la masse) et, à l'aide de cette autre grandeur d'inertie, on retrouve, dans le cas de la rotation d'une particule, la relation formelle écrite dans le cas général à savoir :

la grandeur cinétique « ${\vec {\sigma }}_{O}$ » est le produit de la grandeur cinématique « ${\vec {\Omega }}$ » et de la grandeur d'inertie « $J_{\Delta }$ ».

Cas d'un mouvement plan curviligne (non circulaire) :

Le mouvement étant plan, on y choisit $O$ ; on repère la particule par ses coordonnées polaires $\left(r,\,\theta \right)$ dans le plan $\left(x,y\right)$ du mouvement, ce plan étant orienté par le vecteur unitaire ${\vec {u}}_{z}$ de l'axe $z'z$ passant par $O$ et $\perp$ au plan $\left(x,y\right)$, tel que la base cartésienne « $\left({\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right)$ », choisie orthonormée, soit directe [base encore notée « $\left({\hat {x}},\,{\hat {y}},\,{\hat {z}}\right)$ »] ; la base polaire associée à la particule est notée « $\left({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta }\right)$ » ou « $\left({\hat {r}},\,{\hat {\theta }}\right)$ », c'est un cas particulier de la base cylindrique d'axe $z'z$ notée « $\left({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{z}\right)$ » ou « $\left({\hat {r}},\,{\hat {\theta }},\,{\hat {z}}\right)$ » également directe ;

la particule, positionnée en $M$ à l'instant considéré, a un vecteur position « ${\overrightarrow {OM}}=r\,{\vec {u}}_{r}$ » et un vecteur vitesse « ${\vec {v}}={\dot {\overrightarrow {OM}}}={\dot {r}}\,{\vec {u}}_{r}+r\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }$ » ou encore « ${\vec {v}}={\frac {d\!\left({\overrightarrow {OM}}\right)}{dt}}={\frac {dr}{dt}}\,{\vec {u}}_{r}+r\,{\frac {d\theta }{dt}}\,{\vec {u}}_{\theta }$ » ; on en déduit « ${\vec {\sigma }}_{O}=r\,{\vec {u}}_{r}\wedge m\left({\dot {r}}\,{\vec {u}}_{r}+r\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\right)$ » soit, avec la distributivité du produit vectoriel par rapport à l'addition et avec « ${\vec {u}}_{r}\,\wedge \,{\vec {u}}_{r}={\vec {0}}$ » ainsi qu'avec « ${\vec {u}}_{r}\,\wedge \,{\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{z}$ », on obtient l'expression suivante :

« ${\vec {\sigma }}_{O}=m\,r^{2}\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{z}$ » (semblable à l'expression obtenue pour un mouvement circulaire mais avec « $m\,r^{2}$ variable »).

Énergie cinétique :

« $E_{c}={\frac {{\vec {p}}\,^{2}}{2m}}={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}\,^{2}$ » (encore notée « $E_{k}$ » ou « $K$ »)

La deuxième expression se détermine aisément à partir de la première et de l'utilisation de « ${\vec {p}}=m{\vec {v}}$ » ; on dispose aussi d'une troisième expression n'utilisant pas la masse, obtenue par : « $E_{c}={\frac {{\vec {p}}\!\cdot \!{\vec {p}}}{2m}}={\frac {{\vec {p}}\!\cdot \!m{\vec {v}}}{2m}}$ » d'où « $E_{c}={\frac {1}{2}}\,{\vec {p}}\!\cdot \!{\vec {v}}$ ».

Dans le système international d'unités (ou $S.I.$) l'énergie cinétique s'exprime en Joule « $J=kg\!\cdot \!m^{2}\!\!\cdot \!s^{-2}$ ».

Formellement l'énergie cinétique « $E_{c}$ » est le quotient du carré de la grandeur cinétique « ${\vec {p}}$ » et du double de la grandeur d'inertie « $m$ » ; c'est aussi la moitié du produit du carré de la grandeur cinématique « ${\vec {v}}$ » et de la grandeur d'inertie « $m$ » ; c'est encore la moitié du produit scalaire de la grandeur cinétique « ${\vec {p}}$ » et de la grandeur cinématique « ${\vec {v}}$ ».

Cas d'un mouvement circulaire :

Pour induire l'expression de l'énergie cinétique on peut utiliser la méthode formelle indiquée ci-dessus, sachant que, dans le cas d'une rotation, la grandeur cinématique intéressante est le vecteur rotation « ${\vec {\Omega }}$ », la grandeur cinétique associée, le moment cinétique relativement au centre $O$ de rotation « ${\vec {\sigma }}_{O}$ » et la grandeur d'inertie, le moment d'inertie relativement à l'axe $\Delta$ de rotation « $J_{\Delta }$ » d'où :

l'énergie cinétique « $E_{c}$ » est le quotient du carré de la grandeur cinétique « ${\vec {\sigma }}_{O}$ » et du double de la grandeur d'inertie « $J_{\Delta }$ », « $E_{c}={\frac {{\vec {\sigma }}_{O}^{\,2}}{2\,J_{\Delta }}}$ » ;

l'énergie cinétique « $E_{c}$ » est aussi la moitié du produit du carré de la grandeur cinématique « ${\vec {\Omega }}$ » et de la grandeur d'inertie « $J_{\Delta }$ » ce qui s'écrit « $E_{c}={\frac {1}{2}}\,J_{\Delta }\,{\vec {\Omega }}^{2}$ »;

l'énergie cinétique « $E_{c}$ » est enfin la moitié du produit scalaire de la grandeur cinétique « ${\vec {\sigma }}_{O}$ » et de la grandeur cinématique « ${\vec {\Omega }}$ » soit encore « $E_{c}={\frac {{\vec {\sigma }}_{O}\!\cdot \!{\vec {\Omega }}}{2}}$ ».

Pour démontrer ces expressions on peut partir de la définition « $E_{c}={\frac {1}{2}}\,{\vec {p}}\!\cdot \!{\vec {v}}$ » en y reportant l'expression de la vitesse dans le cas d'un mouvement circulaire « ${\vec {v}}={\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}$ », on obtient « $E_{c}={\frac {1}{2}}\,{\vec {p}}\!\cdot \!\left({\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}\right)\!\cdot \!{\vec {p}}$ » dans laquelle on reconnaît le produit mixte de trois vecteurs « $\left[{\vec {A}},\,{\vec {B}},\,{\vec {C}}\right]=\left({\vec {A}}\wedge {\vec {B}}\right)\!\cdot {\vec {C}}$ » ; on utilise alors l'invariance du produit mixte par permutation circulaire c.-à-d.

« $\left[{\vec {A}},\,{\vec {B}},\,{\vec {C}}\right]=\left[{\vec {B}},\,{\vec {C}},\,{\vec {A}}\right]=\left[{\vec {C}},\,{\vec {A}},\,{\vec {B}}\right]$ » d'où « $\left({\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {OM}}\right)\!\cdot \!{\vec {p}}=\left({\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {p}}\right)\!\cdot \!{\vec {\Omega }}$ » soit « $E_{c}={\frac {1}{2}}\left({\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {p}}\right)\!\cdot \!{\vec {\Omega }}={\frac {1}{2}}{\vec {\sigma }}_{O}\!\cdot {\vec {\Omega }}$ » ; le remplacement de « ${\vec {\Omega }}$ » par « ${\frac {{\vec {\sigma }}_{O}}{J_{\Delta }}}$ » donne la première expression alors que le remplacement de « ${\vec {\sigma }}_{O}$ » par « $J_{\Delta }\,{\vec {\Omega }}$ » fournit la seconde.

Dans le cas d'une rotation on peut donc aussi utiliser les trois expressions suivantes de l'énergie cinétique :

« $K_{c}={\frac {{\vec {\sigma }}_{O}^{\,2}}{2\,J_{\Delta }}}={\frac {1}{2}}J_{\Delta }\,{\vec {\Omega }}^{2}={\frac {{\vec {\sigma }}_{O}\!\cdot {\vec {\Omega }}}{2}}$ ».

Cas d'un mouvement plan curviligne (non circulaire) :

On choisit $O$ dans le plan du mouvement et on y repère la particule par ses coordonnées polaires $\left(r,\,\theta \right)$, le plan du mouvement étant orienté par le vecteur unitaire ${\vec {u}}_{z}$ de l'axe $z'z$ passant par $O$ et $\perp$ au plan ; la base polaire associée à la particule est notée « $\left({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta }\right)$ » ou « $\left({\hat {r}},\,{\hat {\theta }}\right)$ », c'est un cas particulier de la base cylindrique d'axe $z'z$ notée « $\left({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{z}\right)$ » ou « $\left({\hat {r}},\,{\hat {\theta }},\,{\hat {z}}\right)$ » base directe ;

la particule, positionnée en $M$ à l'instant considéré, ayant un vecteur vitesse « ${\vec {v}}={\dot {\overrightarrow {OM}}}={\dot {r}}\,{\vec {u}}_{r}+r\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }$ » on en déduit l'expression de son énergie cinétique par « $E_{c}={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}\,^{2}$ » soit, avec « ${\vec {v}}^{\,2}=\lVert {\vec {v}}\rVert ^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}$ » :

$E_{c}={\frac {1}{2}}m\!\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)$ (on retrouve l'expression de l'énergie cinétique d'un mouvement circulaire en imposant ${\dot {r}}=0$).

Cinétique relativiste des particules matérielles :

La cinétique relativiste s'est développée quasi simultanément à la cinématique et la dynamique relativistes ; cette dernière repose sur deux postulats, appelés postulats d'Einstein (1905) :

1. Principe de relativité : Les lois de la physique ont la même forme dans tous les référentiels galiléens.
2. La vitesse de la lumière dans le vide a la même valeur dans tous les référentiels galiléens.

En théorie classique, le caractère galiléen d'un référentiel n'intervient que dans la dynamique [en effet la cinétique est définie dans n'importe quel référentiel, qu'il soit galiléen ou pas, mais pour décrire simplement son évolution éventuelle connaissant ses causes de variation - c.-à-d. pour faire de la dynamique - il est exigé que le référentiel soit galiléen] ;

en théorie relativiste (ou relativité restreinte), on retrouve cette exigence concernant la dynamique - mais aussi toutes les lois de la physique - dans le premier postulat ; quant au second postulat, il concerne a priori l'électromagnétisme (nécessité que les référentiels soient galiléens pour écrire simplement les équations de Maxwell dans le vide, les changements de référentiels galiléens du champ électromagnétique étant décrits par ses transformations de Lorentz, lesquelles se retrouvent sous une forme semblable en cinétique du point).

Quantité de mouvement :

Expression relativiste de la quantité de mouvement :

Pour une particule de « masse $m>0$ » et de « vitesse ${\vec {v}}$ » dans un référentiel galiléen avec $\lVert {\vec {v}}\rVert <c$, la quantité de mouvement est définie par :

${\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}\quad {\text{où}}\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\lVert {\vec {v}}\rVert ^{2}}{c^{2}}}}}}\quad {\text{est appelé facteur de Lorentz de la particule ;}}$

on introduit fréquemment la vitesse relative de la particule dans le référentiel d'étude « ${\vec {\beta }}={\frac {\vec {v}}{c}}\left(\Leftrightarrow {\vec {v}}={\vec {\beta }}\,c\right)$ » de norme $\lVert {\vec {\beta }}\rVert =\beta <1$, ce qui permet de simplifier l'écriture du facteur de Lorentz en « $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\quad \Leftrightarrow \quad \gamma ^{2}=1+\gamma ^{2}\,\beta ^{2}$ » et de réécrire la définition de la quantité de mouvement selon :

${\vec {p}}=\gamma \,mc\,{\vec {\beta }}\quad {\text{où}}\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$.

L'unité de norme de quantité de mouvement du $S.I.$ « le $kg\!\cdot \!m\!\cdot \!s^{-1}$ » est mal adaptée pour des particules élémentaires compte-tenu de la petitesse des valeurs de masse ; on utilise fréquemment une unité dérivée « le $MeV/c$ » en introduisant la grandeur homogène à une énergie c.-à-d. « ${\vec {p}}\,c=\gamma \,mc^{2}\,{\vec {\beta }}=\gamma \,E_{0}\,{\vec {\beta }}$ » avec « $E_{0}=m\,c^{2}$ » énergie de masse de la particule, usuellement exprimée en Mégaélectron-Volt de symbole « $MeV$ » [« $1\;MeV\simeq 1,602\;10^{-13}\,J$ »] ; ainsi une quantité de mouvement de norme égale à « $1\;MeV/c$ » correspond à une grandeur ${\vec {p}}\,c$ de norme égale à « $1\;MeV$ ».

Expression relativiste de la quantité de mouvement aux faibles vitesses :

Dans le domaine des faibles vitesses « $\lVert {\vec {v}}\rVert \ll c\;\Leftrightarrow \;\beta =\lVert {\vec {\beta }}\rVert \ll 1$ » c.-à-d. que la norme de la vitesse relative peut être considérée comme un infiniment petit ; on peut alors faire un développement limité de la norme de « ${\vec {p}}\,c=\gamma \,E_{0}\,{\vec {\beta }}$ » à l'ordre le plus bas non nul en $\beta$ et, la grandeur étant proportionnelle à l'infiniment petit $\beta$, il suffit de faire le développement limité de $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ à l'ordre zéro (le troisième facteur $E_{0}=m\,c^{2}$ étant une constante) soit $\gamma \simeq 1$ et par suite « ${\vec {p}}\,c\simeq E_{0}\,{\vec {\beta }}=m\,c^{2}\,{\vec {\beta }}=m\,c\,{\vec {v}}\;\Leftrightarrow \;{\vec {p}}\simeq m\,{\vec {v}}$ » ; on retrouve effectivement l'expression de la quantité de mouvement de la cinétique classique.

Moment cinétique relativement à O :

Pour obtenir l'expression relativiste du moment cinétique d'une particule relativement à $O$, il suffit de reporter l'expression relativiste de la quantité de mouvement dans la définition du moment cinétique « ${\vec {\sigma }}_{O}={\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {p}}$ » soit « ${\vec {\sigma }}_{O}={\overrightarrow {OM}}\wedge \gamma \,m\,{\vec {v}}={\overrightarrow {OM}}\wedge \gamma \,m\,c\,{\vec {\beta }}$ » (mais l'expression du moment cinétique relativement à $O$ en fonction de la vitesse n'a pratiquement aucun intérêt, seule son expression en fonction de la quantité de mouvement - c.-à-d. sa définition - est utilisée).

Énergie cinétique :

Expression relativiste de l'énergie cinétique (et de l'énergie totale) :

Pour une particule de « masse $m>0$ », de « vitesse ${\vec {v}}$ » (avec $\lVert {\vec {v}}\rVert <c$) et de facteur de Lorentz « $\gamma >1$ » (comparaison découlant de $\lVert {\vec {v}}\rVert >0\Rightarrow \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\lVert {\vec {v}}\rVert ^{2}}{c^{2}}}}}}>1$) l'énergie cinétique peut être définie par :

$E_{c}=(\gamma \,-\,1)\,m\,c^{2}\quad {\text{où le facteur de Lorentz est réécrit selon}}\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\quad \left({\vec {\beta }}={\frac {\vec {v}}{c}}{\text{ étant la vitesse relative}}\right)$ ;

le plus souvent on remplace l'utilisation de l'énergie cinétique « $E_{c}$ » par celle de l'énergie totale « $E=E_{c}+E_{0}$ » avec « $E_{0}=m\,c^{2}$ » énergie de masse de la particule, d'où :

$E=\gamma \,m\,c^{2}=\gamma \,E_{0}$.

L'unité d'énergie du $S.I.$ « le $J=kg\!\cdot \!m^{2}\!\cdot \!s^{-2}$ » est mal adaptée pour des particules élémentaires ; on utilise souvent le Mégaélectron-Volt de symbole $MeV$ [« $1\;MeV\simeq 1,602\;10^{-13}\,J$ »] ; on en déduit une unité dérivée de la masse le « $MeV/c^{2}$ » : une masse de « $1\;MeV/c^{2}$ » correspond à une énergie de masse égale à « $1\;MeV$ », par exemple la masse d'un proton est de « $938,272\;MeV/c^{2}$ », celle d'un électron de « $511\;keV/c^{2}$ » [le $keV$ est le symbole du kiloélectron-Volt « $1\;keV=10^{-3}\;MeV$ »].

Expression relativiste de l'énergie cinétique aux faibles vitesses :

Dans le domaine des faibles vitesses « $\lVert {\vec {v}}\rVert \ll c\;\Leftrightarrow \;\beta =\lVert {\vec {\beta }}\rVert \ll 1$ », la norme de la vitesse relative peut être considérée comme un infiniment petit ; on peut alors faire un développement limité de « $E_{c}=\left(\gamma \,-\,1\right)mc^{2}=\left(\gamma \,-\,1\right)E_{0}$ » à l'ordre le plus bas non nul et, comme le facteur de Lorentz ne fait intervenir que le carré de la norme de la vitesse relative « $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ », on prendra « $\beta ^{2}$ » comme infiniment petit, il suffit donc de faire le développement limité de $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ à l'ordre un en $\beta ^{2}$ (en effet l'ordre zéro conduisant à « $\gamma \simeq 1$ » impliquerait « $\gamma -1\simeq 0$ » ...) ; de façon à utiliser la première formule du formulaire des développements limités des fonctions usuelles au voisinage de zéro « $\left(1+x\right)^{a}=1+a\,x+o(x)$ » développement limité à l'ordre un en l'infiniment petit $x$ ou, écrit de façon plus succincte (et donc moins précise) « $\left(1+x\right)^{a}\simeq 1+a\,x$ », on réécrit le facteur de Lorentz « $\gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ » et son développement limité à l'ordre un en $\beta ^{2}$ donne « $\gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\simeq 1+{\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}$ » d'où « $\gamma -1\simeq {\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}$ » soit « $E_{c}=\left(\gamma \,-\,1\right)mc^{2}\simeq {\frac {1}{2}}\,\beta ^{2}\,m\,c^{2}$ » ou encore, en utilisant l'expression « ${\vec {\beta }}\,c={\vec {v}}\Rightarrow \beta ^{2}c^{2}=v^{2}$ », « $E_{c}\simeq {\frac {1}{2}}\,m\,v^{2}$ » ; on retrouve bien l'expression de l'énergie cinétique de la cinétique classique.

Lien entre énergie cinétique (ou totale) et quantité de mouvement :

La quantité de mouvement et l'énergie cinétique (ou totale) d'une particule ont été définies à partir de sa vitesse ; éliminons la vitesse de façon à trouver un lien entre quantité de mouvement et énergie cinétique (ou totale) ; de « ${\vec {p}}\,c=\gamma \,mc^{2}\,{\vec {\beta }}=\gamma \,E_{0}\,{\vec {\beta }}$ » et de « $E=\gamma \,m\,c^{2}=\gamma \,E_{0}$ », on déduit aisément l'expression de la vitesse relative « ${\vec {\beta }}$ » en fonction des grandeurs cinétiques « ${\vec {p}}\,c$ et $E$ » :

${\vec {\beta }}={\frac {{\vec {p}}\,c}{E}}$ ;

reportant cette expression de vitesse relative dans le facteur de Lorentz « $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ », on obtient « $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}{E^{2}}}}}}$ » ou, « $\gamma$ étant d'autre part égal à ${\frac {E}{E_{0}}}$ », « ${\frac {E}{E_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}{E^{2}}}}}}\Leftrightarrow E\,{\sqrt {1-{\frac {{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}{E^{2}}}}}=E_{0}$ » soit « ${\sqrt {E^{2}-{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}}=E_{0}$ » ou, en élevant au carré, on en déduit $E^{2}=E_{0}^{\,2}+{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}$ soit finalement, l'énergie totale étant positive :

$E={\sqrt {E_{0}^{\,2}+{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}}={\sqrt {m^{2}\,c^{4}+{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}}$.

L'énergie cinétique s'obtient alors en retranchant l'énergie de masse soit « $E_{c}={\sqrt {E_{0}^{\,2}+{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}}-E_{0}={\sqrt {m^{2}\,c^{4}+{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}}-m\,c^{2}$ ».

Cinétique relativiste des particules de masse nulle :

Les particules de masse nulle sont purement énergétiques, l'exemple le plus connu est le « photon » (la théorie suppose sa masse nulle, cette hypothèse est pour l'instant compatible avec les résultats expérimentaux) ; dans la dualité onde-corpuscule, un photon est la particule duale d'une onde électromagnétique ;

les particules de masse nulle se déplacent dans tout référentiel galiléen à la vitesse limite $c$ laquelle s'identifie à la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide (le photon étant théoriquement de masse nulle).

Énergie des particules de masse nulle :

Ces particules sans masse n'ayant évidemment pas d'énergie de masse, la seule énergie qu'on peut leur associer est une énergie liée à leur mouvement c.-à-d. l'énergie cinétique « $E_{c}$ » et, comme l'énergie de masse « $E_{0}=0$ », c'est aussi l'énergie totale « $E$ » on a « $E=E_{c}$ » ;

c'est l'une des grandeurs cinétiques la plus facile à introduire pour une particule de masse nulle [par exemple un photon associé à une onde électromagnétique de fréquence $\nu$ possède une énergie $E=h\,\nu$ où $h$ est la constante de Planck] ;

L'unité d'énergie du $S.I.$ « le $J=kg\!\cdot \!m^{2}\!\cdot \!s^{-2}$ » est mal adaptée pour des particules élémentaires de masse nulle ; on utilise l'Électron-Volt de symbole $eV$ [« $1\;eV\simeq 1,602\;10^{-19}\,J$ »] pour les photons associés aux ondes lumineuses ou un multiple pour les particules plus énergétiques.

Quantité de mouvement des particules de masse nulle :

Dans la cinétique des particules matérielles relativistes il existe une relation entre grandeurs cinétiques dont la recherche de limite quand $m\rightarrow 0$, ne conduit pas à une forme indéterminée c'est « $E={\sqrt {E_{0}^{\,2}+{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}}={\sqrt {m^{2}\,c^{4}+{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}}}$ » ; on prolonge la validité de cette formule aux particules de masse nulle et on en déduit « $E=\lVert {\vec {p}}\rVert \,c$ » ; la direction et le sens de déplacement de la particule de masse nulle sont choisies pour définir la direction et le sens de sa quantité de mouvement d'où :

« ${\vec {p}}={\frac {E}{c}}\,{\vec {u}}\quad {\text{où }}{\vec {u}}{\text{ est le vecteur unitaire dans la direction et le sens du mouvement de la particule}}$ ».

L'unité de norme de quantité de mouvement du $S.I.$ « le $kg\!\cdot \!m\!\cdot \!s^{-1}$ » est mal adaptée pour des particules de masse nulle ; comme cette norme s'identifie à l'énergie au facteur « ${\frac {1}{c}}$ » près on utilise l'unité dérivée « l'$eV/c$ » ; ainsi une quantité de mouvement de particule de masse nulle de norme égale à « $1\;eV/c$ » correspond à une énergie « $E=\lVert {\vec {p}}\rVert \,c$ » de valeur égale à « $1\;eV$ ».

Cinétique des systèmes discrets de particules :

à développer ultérieurement

Cinétique des systèmes continus de matière :

à développer ultérieurement

Distinction « cinématique, cinétique et dynamique » d'une particule matérielle :

La cinématique est l'étude du mouvement indépendamment de toute notion physique, c'est donc une partie des mathématiques introduite sans faire intervenir l'inertie de l'objet.

La cinétique est l'étude du mouvement en tenant compte de l'inertie de l'objet : ainsi une mouche et un camion de quinze tonnes seront décrits par la même cinématique s'ils ont le même mouvement mais ils n'auront évidemment pas la même cinétique (en dehors de toute action sur l'objet, on ne pourra pas les distinguer - ils ont la même cinématique - mais dès lors que l'on souhaite modifier leur cinématique, il faudra imposer une action nettement plus grande sur le camion de quinze tonnes que sur la mouche prouvant qu'ils n'ont pas la même cinétique).

La dynamique est l'étude du lien existant entre la cinétique et les causes la modifiant ; ces causes dépendent des grandeurs cinétiques introduites :

• les causes de modification de la quantité de mouvement « ${\vec {p}}$ » sont les forces appliquées « ${\vec {F}}_{k}$ », la relation les liant est donnée par le principe fondamental de la dynamique qui postule l'existence d'un référentiel dit galiléen où « $\sum _{k}{\vec {F}}_{k}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}(t)$ » (relation valable en dynamique classique ou relativiste) ;
• les causes de modification du moment cinétique calculé relativement à $O$ « ${\vec {\sigma }}_{O}$ » sont les moments des forces appliquées calculés relativement à $O$ « ${\vec {M}}_{O}\!\left({\vec {F}}_{k}\right)$ », la relation les liant est donnée par le théorème du moment cinétique applicable dans un référentiel galiléen avec $O$ point fixe de ce référentiel soit « $\sum _{k}{\vec {M}}_{O}\!\left({\vec {F}}_{k}\right)={\frac {d{\vec {\sigma }}_{O}}{dt}}(t)$ » (valable en dynamique classique ou relativiste) ;
• les causes de modification de l'énergie cinétique « $E_{c}$ » sont les puissances des forces « $P\!\left({\vec {F}}_{k}\right)$ », la relation les liant est donnée par le théorème de la puissance cinétique applicable dans un référentiel galiléen soit « $\sum _{k}P\!\left({\vec {F}}_{k}\right)={\frac {dE_{c}}{dt}}(t)$ » (valable en dynamique classique ou relativiste) [la dérivée temporelle de l'énergie cinétique « ${\frac {dE_{c}}{dt}}={\dot {E}}_{c}$ » est appelée « puissance cinétique »] ;
• formellement les relations ou théorèmes précisant comment les grandeurs cinétiques varient au cours du temps compte-tenu des causes les modifiant s'écrivent : « $\sum _{k}\left({\text{cause de modification de la grandeur cinétique}}\right)_{k}={\frac {d\left({\text{grandeur cinétique}}\right)}{dt}}(t)$ » dans n'importe quel référentiel galiléen.