Lie algebra bundle

Matematikte, bir zayıf Lie cebri demeti

\xi =(\xi ,p,X,\theta )\,

bir vektör demeti $\xi \,$ over bir X uzay tabanı üzerinde bir morfizmle beraber

\theta :\xi \otimes \xi \rightarrow \xi

Bu her lif $\xi _{x}\,$ üzerindeki bir Lie cebiri yapısını uyarır.

Bir Lie cebiri demeti $\xi =(\xi ,p,X)\,$ is içindeki bir vektör demeti bunun her lifi bir Lie cebiridir ve X içindeki her x için , burada x içeren bir açık küme $U$ dir, bir Lie cebiri L ve bir homomorfizm

\phi :U\times L\to p^{-1}(U)\,

böylece

\phi _{x}:x\times L\rightarrow p^{-1}(x)\,

bir Lie cebiri izomorfizmidir.

Herhangi Lie cebiri demeti bir zayıf Lie cebiri demetidir ama genel içinde tersi doğru olması gerekmez.

${\mathfrak {so}}(3)\times \mathbb {R}$ toplam uzayı düşünldüğünde zayıf bir Lie cebiri demetinin bir örneği olarak bu bir sert Lie cebiri demeti değildir $\mathbb {R}$ üzerinde gerçek hattır.Diyelimki ${\mathfrak {so}}(3)$ ün Lie braketi [.,.] ifadesi ve gerçek parametre olarak onun deformesi:

X,Y\in {\mathfrak {so}}(3)

için

[X,Y]_{x}=x\cdot [X,Y]

ve $x\in \mathbb {R}$ .

Lie'nin üçüncü teoremi durumunda bu Lie cebirinin her demeti Lie gruplarının bir demetine yerel entegre olabilir.Ancak küresel toplam uzay Hausdorff için başarısız olabilir.^[1]

Kaynakça

^ A. Weinstein, A.C. da Silva: Geometric models for noncommutative algebras, 1999 Berkley LNM, online readable at [1], in particular chapter 16.3.

A.Douady et M.Lazard, Espaces fibres en algebre de Lie et en groups, Invent. math., Vol. 1, 1966, pp. 133–151
B.S.Kiranagi, Lie Algebra bundles, Bull. Sci. Math., 2^e serie, 102(1978), 57-62.
B.S.Kiranagi, Semi simple Lie algebra bundles, Bull. Math de la Sci. Math de la R.S.de Roumaine, 27 (75), 1983, 253-257.
B.S.Kiranagi and G.Prema, On complete reducibility of Module Bundles, Bull. Austral. Math Soc., 28 (1983), 401-409.
B.S.Kiranagi and G.Prema, Cohomology of Lie algebra bundles and its applications, Ind. J. Pure and Appli. Math. 16(7): 1985, 731/735.
B.S.Kiranagi and G.Prema, Lie algebra bundles defined by Jordan algebra bundles, Bull. Math. Soc.Sci.Math.Rep.Soc. Roum., Noun. Ser. 33 (81), 1989, 255-264.
B.S.Kiranagi and G.Prema, On complete reducibility of Bimodule bundles, Bull. Math. Soc. Sci.Math. Repose; Roum, Nouv.Ser. 33 (81), 1989, 249-255.
B.S.Kiranagi and G.Prema, A decomposition theorem of Lie algebra Bundles, Communications in Algebra 18 (6), 1990, 1869-1877 .
B.S.Kiranagi, G.Prema and C.Chidambara, Rigidity theorem for Lie algebra Bundles, Communications in Algebra 20 (6), 1992, pp. 1549 – 1556.

Kaynakça

See also