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對給定黎曼度量的二階張量的跡(trace)

已知若$a=\sum _{ij}a_{i}^{j}\,dx^{i}\otimes {\frac {\partial }{\partial x^{j}}}$是$(1,1)$-張量，則其跡(trace)為$\operatorname {tr} (a)=\sum _{i}a_{i}^{i}$。

對二階張量$X$我們定義其對應黎曼度量$g$的跡(trace)為：

$\operatorname {tr} _{g}(X):=\operatorname {tr} (X^{\sharp })$，

$X^{\sharp }$是$(1,1)$-張量，所以其跡是有定義的。

設$X=\sum _{ij}X_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}$，為 $(2,0)$-張量場，將第二指數上升讓$(2,0)$-張量變成$(1,1)$-張量即，

$X^{\sharp }=\sum _{ijk}g^{jk}X_{ij}\,dx^{i}\otimes {\frac {\partial }{\partial x^{k}}}$。

我們有

$\operatorname {tr} _{g}(X):=\operatorname {tr} (X^{\sharp })=\operatorname {tr} (\sum _{ik}(\sum _{j}g^{jk}X_{ij})\,dx^{i}\otimes {\frac {\partial }{\partial x^{k}}})=\sum _{i}(\sum _{j}g^{ji}X_{ij})=\sum _{ij}g^{ij}X_{ij}$。

注意：雖然這裡是上升第二指數(raising the second index)，不過對第一指數上升也會得到相同結果。