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對給定黎曼度量的二階張量的跡(trace)

已知$(1,1)$-張量 $F=\sum _{ik}F_{i}^{k}\,dx^{i}\otimes {\frac {\partial }{\partial x^{k}}}$ 的跡(trace)為 $\operatorname {tr} (F)=\sum _{l}F_{l}^{l}$。

對 $(2,0)$-張量 $T$ 我們定義其對應黎曼度量 $g$ 的跡(trace)為：

$\operatorname {tr} _{g}(T){\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\operatorname {tr} (T^{\sharp })$，

$T^{\sharp }$是$(1,1)$-張量，所以已知其跡是如何計算。

設 $T=\sum _{ij}T_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}$，為 $(2,0)$-張量場，將分量 $T_{ij}$ 第二指數上升讓 $(2,0)$-張量變成 $(1,1)$-張量，即

$T^{\sharp }=\sum _{ijk}g^{jk}T_{ij}\,dx^{i}\otimes {\frac {\partial }{\partial x^{k}}}$。

我們有

$\operatorname {tr} _{g}(T){\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\operatorname {tr} (T^{\sharp })=\operatorname {tr} (\sum _{ik}(\sum _{j}g^{jk}T_{ij})\,dx^{i}\otimes {\frac {\partial }{\partial x^{k}}})=\sum _{i}(\sum _{j}g^{ji}T_{ij})=\sum _{ij}g^{ij}T_{ij}$。

$\operatorname {tr} _{g}(T)=\sum _{ij}g^{ij}T_{ij}$ 為對 $(2,0)$-張量求跡(trace)的公式。 注意：雖然這裡是上升第二指數(raising the second index)，不過對第一指數上升也會得到相同結果。

• Chern, Shiing-Shen; W. H. Chen; K.S. Lam (1999) [1999]. Lectures on Differential Geometry. World Scientific. Chapter 4. ISBN 978-9-8102-4182-7.