User:EAE7LCNAEM/sandbox

Naturako ereduak ingurune natural batean dauden forma erregularrak dira. Eredu horiek testuinguru desberdinetan errepika daitezke, eta, batzuetan, matematikoki deskriba daitezke. Eredu matematikoen artean, hauek aurki ditzakegu: zuhaitzak eta fraktalak, simetriak, uhinak eta dunak, burbuilak eta aparra, teseladunak, pitzadurak, marrak eta puntuak.

• 
  Haizeari esker, eredu naturalak sortzen dira Namibia desertuko dunetan.
• 
  Kameleoien azalan aurki daitezkeen eredu naturaleek kamuflatzeko aukera dute kameleoiek.

Platon, Pitagoras eta Enpedokles eredu horiek aztertzen hasi ziren, naturaren ordena azaldu nahi zutelako. Handik aurrera, zientzialari askok eredu horien ikerketa jarraitu dute, hala nola Joseph Plateau fisikari belgikarrak eta Ernst Haeckel biologo alemanak. Matematikak, fisikak eta kimikak naturako prozesuak maila desberdinetan deskribatzen dituzte. Izaki bizidunetan ematen diren patroiak prozesu biologikoen bidez azaltzen dira. Patroiak eratzeko azterketek ordenagailu-ereduak erabiltzen dituzte patroi mota asko simulatzeko.

Historia

Antzinako Greziako filosofoak naturak islatzen zuen ordena azaltzen saiatu ziren, kontzeptu modernoetara aurreratzen. Adibidez, Platon (KA 427– 347 ) filosofoak naturan agertzen ziren formen ideia perfektuak existitzen zirela adierazten zuen. Teofrastok (KA 372– 287 ) nabari zuen hosto lauak zituzten landareek serie erregularretan zituztela antolatuta. Plinio Zaharrak (KO 23–79 ) nabari zuen patroi zirkularra jarraituz antolatuta zeudela. Mende batzuk geroago, Leonardo Fibonaccik Fibonacciren segida aurkeztu zuen mundura, berak idatzitako Liber Abaci liburuarekin. Irudizko untxi familia baten ugalketa azaldu zuen. Leonardo Da Vinci (1452–1519) hostoen espiral moduko patroiaz jabetu zen. Honetaz gain, konturatu zen zuhaitzen enborretako eraztunen kopurua handitzen doala zuhaitza zahartu ahala. Johannes Kepler (1571–1630) Fibonacciren segidaren bidez azaldu zuen zenbait loreen eredu pentagonala, segida hau naturan zegoela frogatuz. 1754.urtean Charles Bonnet naturalistak landare anitzen espiral filotaxia ikastean, haien hostoen antolaketa urrezko zenbakiaren bidez deskrikatu ahal zela ikusi zuen. Geroago, 1837.urtean Auguste Bravais eta Louis, bere anaiak, filotaxi ezberdinen proportzioak Fibonacciren segidarekin erlazionatu zituzten, eta pinaburuetan eta ananetan Fibonacciren segida agertzen zela ikusi zuten. 1854.urtean idatzitako liburuan, Adolf Zeising psikologo alemaniarrak urrezko zenbakiaren agerpena ikertu zuen landareen atalen antolakuntzan, animalien eskeletoetan eta haien nerbio eta zainen antolakuntzan eta kristaletan. 1917. urtean D'Arcy Thompsonek idatzitako liburuak On Growth and Form beste adibide batzuk azaldu zituen; haien arten, ekuazio sinpleen bidez deskribatu zuen animalien adarretan eta moluskuen oskoletan aurkitutako espiral moduko patroiak.

• 
  Fibonacciren zenbakiak hainbat landareren egituretan aurki daiteke.

1658. urtean, Sir Thomas Browne fisikari eta filosofo ingelesak naturaren eredu geometrikoa eztabaidatu zuen "The Garden of Cyrus" izeneko mintzaldian. Ernst Haeckel (1834–1919) itsasoko organismoen hainbat marrazki egin zituen, Radiolaria izeneko protozooaren marrazkiak hain zuzen. Marrazki hauetan nabaria zen haien simetria. Wilson Bentley argazkilari amerikarrak elur-maluta baten lehenengo mikrografia egin zuen 1885. urtean. 1952.urtean, Alan Turing (1912-1954), "The Chemical Basis of Morphogenesis" liburua idatzi zuen (euskeraz "Morfogenesiaren Oinarri Kimikoa"). Liburu honetan, izaki bizidunetan patroiak sortzeko gertatzen diren mekanismoen analisia egiten zuen, morfogenesia izeneko prozesuan. Organismoek haien izaera garatzeko prozesuari deritzo morfogenesia. Erreakzio kimiko oszilatzaileak iragarri zituen, Belousov-Zhabotinsky erreakzioa hain zuzen. Mekanismo hauek, mekanisko aktibatzaile-inhibitzaile mekanismo bat dena, animalietan marren eta puntuen patroiak sortzen dituzte eta landareen espiral moduko filotaxian dute eragina, Turingen arabera.

1968.urtean, Aristid Lindenmayer (1925-1989), Hungariako biologo teorikoa, L-sistema garatu zuen, landareen hazkuntza fraktalak erabiliz deskribatzen dituen gramatika formal bat. L-sistemek simboloen alfabeo bat daukate, eta simbolo hauek batera daitezke sinboloen kate luzeagoak sortzeko. Beste aldetik, sortutako kateak egitura geometrikoetan bihurtzeko mekanismoak dauzkate. Mendeetan zehar, matematikaren atal honen aurrerakuntzak oso motelak izan ziren, baina matematikari hauei esker burutu ziren: Gottfried Leibniz, Georg Cantor, Helge von Koch, Wacław Sierpiński. Hala ere, 1975.urtean, Benoît Mandelbrotek "How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension" izeneko artikulua plazaratuz argi utzi zuen fraktal kontzeptuaren gogoeta matematikoa.

Kausak

Orkideak, kolibriek eta hegazterren isatsek diseinu abstraktuak dituzte, eta artista gehienek diseinu honen formak, patroiak eta koloreak nahasteko arazoak izan ohi dituzte. Gizakiok naturan ikusten dugun edertasuna hainbat motatako kausen ondorio da, askotan patroiek eragiten dituzten formak deskribatzen dituzten matematikaren ondorio hain zuzen.

• 
  Hostoak poligonoetan daude banatuta

Matematikaren bidez, mota guztietako patroiak aurkitzen eta azaltzen saiatzen da gizakia. Ikusgaiak diren patroiak kaosaren teoria, fraktal, espiral logaritmiko edo topologiaren bidez azaltzen da. Adibidez, L-sistemek hainbat zuhaitzen hazkundearen patroien eredu sendoak osatzen dituzte.

Fisikaren legeak matematikaren abstrakzioak mundura ezartzen dituzte, perfektua balitz bezala. Adibidez, kristal bati perfektua deritzo erabat simetrikoa bada; hau da, haren egiturak akatsik ez badu. Hala ere, perfekzio matematiko zehatzak objektu errealen hurbilketa bat baino ezin du eman. Naturan aurkitzen diren hainbat patroi ikusgarriak fisikareen legeek eraentzen dituzte; adibidez, meandroak fluidoen dinamika erabiliz azal daitezke.

Patroi motak

Simetria

Simetria nonahi aurki daiteke izaki bizidunen artean. Animali gehienek, landareen hostoek eta landare batzuek (orkideak, adibidez) aldebiko simetria daukate. Landare eta lore askok, eta zenbait animalia taldek (anemonak adibidez) simetria errotazionala daukate. Beste aldetik, badaude simetria boskoitza daukaten izaki bizidunen taldeak, adibidez ekinodermoak. Talde honen barruan itsas izarrak, itsas trikuak eta komatulak daude.

• 
  Itsas izarrak bezalako ekinodermoek simetria boskoitza dute.

• 
  Animaliek aldebiko simetria dute.

Izaki bizigabeen artean, elur-malutek simetria seikoitza daukate; elur-malutaren zati bakoitzaren egiturak kristalizazio prozesuan emandako baldintzen erregistroa da, eta sei zatien hazkuntza patroia ia-ia berdina da. Orokorrean, kristaletan simetria aniztasun handia aurki daiteke; badaude simetria kubikoa duten kristalak, baita simetria oktaedrikoa dutenak ere. Hala ere, benetako kristalek ezin dute simetria boskoitza izan. Simetria errotazionala hainbat arlotan aurki daiteke; adibidez, ur-tanta bat urmael batean erortzean sortzen diren koroa itxurako zipriztinetan, edo Saturn planetaren esfera forman eta eraztunetan.

• 
  Elur-malutek simetria seikoitza daukate.
• 
  Ur-tanta bat urmael batean erortzean.

Zuhaitzak eta fraktalak

Leonardo Da Vincik zuhaitzen adarkaduraren patroia deskribatu zuen Italiar Errenazimenduan. Honako hau adierazi zuen: "Zuhaitz bateko garaiera bereko adar guztiak batuz gero, haien lodiera enborraren lodieraren bezalakoa da." Adierazpen honen bertsio orokorrago bat badago: zuhaitz bateko adar bat bi adar edo gehiagotan banatzean, adar hauen azalera-eremuak batuz, lehenengo adarraren azalera-eremua lortuko dugu. Beste adierazpen baliokidea hau dela esan daiteke: zuhaitz baten adar bat bi adar txikiagotan banatuz gero, haien zehar-diametroak eta adar handiaren zehar-diametroak triangelu angeluzuzena osatzen dute. Ezaugarri honi esker zuhaitzek haize handiak jasan ditzakete. Eredu biomekanikoak erabiliz egindako simulazioek lege honekin bat datoz.

• 
  zenbait zuhaitzen hazkuntza-patroiak L-sistemako fraktalak bezalakoak dira.

Fraktal moduko ereduak zabalki agertzen dira naturan; adibidez, hodeietan, ibai-sareetan, faila geologikoetan, mendietan, kostaldeetan, animalien koloreetan, elur-malutetan, kristaletan, odol-hodien adarkaduran, aktina-zitoeskeletoetan eta itsas uhinetan.

Kiribilak

Kiribilak landare eta animalietan maiz aurki daitezke, batez ere moluskuetan. Adibidez, nautilo izeneko molusku zefalopodoan, haren oskolaren ganera bakoitza hurrengoaren gutxi gorabeherako kopia da, kiribil logaritmiko baten moduan antolatuta. Landareetan aurkitutako kiribilak hainbat leku ezberdinetan aurki daitezke: haien filotaxian, hostoen antolakuntzan, eta beste atalen antolakuntzan. Filotaxien kiribilak matematikaren bidez azal daitezke Fibonacciren segidaren bidez. Segida honetan zenbaki bakoitza aurreko bi zenbakien batura da. Beste filotaxietan, eguzkiloreetan eta bitxiloreetan kukuluak Fermaten kiribila jarraituz daude antolatuta, lorea heldua denean eta elementu guztiak neurri berekoak direnean. Fibonacciren proportzioak urrezko angelua hurbiltzen du. Angelu honen balioa 137.508°, eta Fermaten kiribila zuzentzen du.

• 
  Aloe polyphylla landarearen filotaxia
• 
  Oskola honetan kiribil logaritmikoa ikus daiteke

Uhinak eta dunak

Uhinak mugitzen diren heinean energia garraiatzen duten perturbazioak dira. Uhin mekanikoak uraren edo airearen bitartez hedatzen dira eta haietatik pasatzean oszilatzea eragiten dute. Haize-uhinak itsasoaren azaleko uhinak dira, edozein ur-gorputz handiren patroi kaotiko bereizgarria sortzen dutenak. Uhinak harea gainetik pasatzen direnean, uhin-patroiak sortzen dituzte. Haizea harea-gorputz handien gainetik pasatzean, dunak sortzen dira; batzuetan duna-eremu zabalak, Taklamakan basamortuan bezala. Dunek patroi mota asko sor ditzakete, haien artean ilargierdiak, lerro zuzen oso luzeak, izarrak, kupulak eta parabolak.

• 
  Dunak

Burbuilak eta aparrak

Xaboi-burbuila batek esfera bat osatzen du, baina bi burbuilek forma konplexuagoa sortzen du: bi burbuilen kanpoko gainazalak esferikoak dira eta beste gainazal esferiko batez lotuta daude, burbuila txikia handienean pixka bat sartuz. Aparra burbuila-masa bat da, eta naturan hainbat materialetako aparrak ager daitezke. Xaboi-geruza mehez sortutako aparrak Platoien legeak jarraitzen dituzte; lege hauek diote geruzak lauak eta jarraituak izan behar dute eta haien batez besteko kurbatura konstantea puntu guztietan. Zelula bizietan ere agertzen dira aparren patroiak; adibidez, itsas trikuen kaltzita eskeletoetan.

• 
  Xaboiaren burbuilek sortutako aparra
• 
  Esfera berdinak aparran

Teseladunak

Teselatuak gainazal lau batean baldosak errepikatuz sortzen diren patroiak dira. Guztira 17 talde simetriko lau daude. Artean eta diseinuan ohikoagoak diren arren, naturan aurkitzeko zailagoak dira. Liztorren habietako eta erleek egindako panaletako gelaxkak adibide argiak dira. Narrastiak, hezurretako arrainak edo salak bezalako fruituak osteodormoari esker babesten dira; eredu hori nahiko errepikatuta dago, nahiz eta tamaina desberdinak izan. Frilitillaria meleagris loreak, adibidez, dama-patroia du petaloetan. Azkenik, milaka mineral ezagutzen diren arren, kristalean ere patroiak bereiz daitezke.

• 
  Erleek egindako panaletako gelaxkak teselatu naturalak dira
• 
  Frilitillaria meleagris lorea

Pitzadurak

Pitzadurak estresa askatzeko materialetan sortzen diren irekidura linealak dira. Material elastiko bat bere haustura-indarrera iristen denean, pitzadura norabide askotan joan daiteke. Hala ere, material inelastiko bat hausten denean, pitzadura zuzenak sortzen ditu estres hori askatzeko. Beraz, arrailduraren patroiak materiala elastikoa den ala ez adierazten du. Material haritsuenetan, pitzadurek askatzen dute estresa, baina ez dira asko handitzen, zuntz elastiko sendoek eteten baitituzte. Eta material bakoitzak bere egitura duenez, pitzadura bakoitzak patroi desberdinak eratuko ditu.

• 
  90 gradutako arrailak dituen zeramika zaharra
• 
  120 gradutako pitzadurak dituen lokatz elastiko lehortuta

Marrak eta puntuak

Lehoinabarrak pikardatuak dira; zebrak eta txiribikoak, berriz, marratuak. Patroi horiek azalpen eboluzionarioa dute: ugaltze-eredu horiekin animaliak ugaltzeko aukerak areagotzen dituzten funtzioak dituzte. Funtzio bat kamuflajea da; adibidez, ikusten zailagoa den lehoinabar batek harrapakin gehiago harrapatuko ditu. Beste funtzio bat seinaleak dira; hegazti harrapariek marigorringo gutxi harrapatzen dituzte, ohartarazpen-kolore ausartak baditu, mikatzagoak izaten baitira. Txori batek marigorringoa jaten badu, ez du errepikatuko. Orduan, patroiak dituzten lehoinabar-kumeek eta marigorringoek bizirik irauteko aukera gehiago dituzte. Hala ere, eboluzio-argudio horiek azaltzen dute zergatik behar dituzten animalia horiek zenbait eredu, baina ez dute azaltzen nola eratzen diren.

• 
  Zebraren azalak marrak ditu
• 
  Lehoinabarren azalak puntuak ditu

Patroien eraketa

Alan Turingek, eta geroago James Murray biologo-matematikariak, patroi marratuak edo pikardatuak berez sortzen dituen mekanismo bat deskribatu zuten: erreakzio-difusio sistema bat. Organismo gazte baten zelulek morfogeno deituriko seinale kimiko bategaz aktiba daitezkeen geneak dituzte. Ondorioz, egitura mota jakin bat hazten da, hala nola ilunki pigmentatutako larruazal zati bat. Morfogenoa alde guztietan badago, pigmentazio uniformea lortzen da, lehoinabar beltzean bezala. Baina uniformeki banatuta ez badago, marrak edo motak sortzen dira. Turinek iradoki zuen morfogenoaren ekoizpenaren berrelikadura-kontrola egon zitekeela. Horrek etengabeko gorabeherak eragin ditzake mofogeno kopuruan, gorputzaren inguruan barreiatzen denean. Bigarren mekanismo bat behar da uhin geldikorren ereduak sortzeko (puntuetan edo arrailetan sortzen direnak): kimikari inhibitzaile bat, morfogenoaren ekoizpena desaktibatzen duena, eta gorputzean zehar morfogenoa baino azkarrago hedatzen dena, eskema inhibitzaile-aktibatzaile baten bidez. Belousov-Zhabotinsky erreakzioa eskema mota horren adibide ez-biologikoa da.

Sabanetan, adibidez, patroiak arrazoi ezberdinengatik agertzen dira. Kasu konkretu honetan, pitzadurak mendi-hegal lehorretan agertzen dira eta pitzadura hauen bidez landareek euri-ura jasotzen dute.

Beste kasu batzuetan, patroiak animaliek sortzen dituzte. Adibidez, Namibian “fairy circle” izeneko patroi naturalak bertako termita taldeen lehiaketen ondorioz sortzen dira.

• 
  "Fairy circles" Marienflusstal arean, Namibian.

Ikusi ere

• Emergentzia
• Landareen eboluzio historia
• Matematikak eta artea
• Widmanstätten patroia