User:Sonmoris/sandbox

frame|Fala o prędkości grupowej mniejszej od prędkości fazowej. Czerwony punkt porusza się z prędkością fazową, a zielony z prędkością grupową. Prędkość grupowa – wielkość opisująca prędkość poruszania się ogólnego kształtu fali - zwanego modulacją fali - w przestrzeni. Odróżniana jest od prędkości grzbietów fali o jednej częstotliwości, które poruszają się z prędkością fazową.

Na przykład: po wrzuceniu kamienia do sadzawki na początku obserwujemy wiele pojedynczych grzbietów. Mają one różne częstotliwości i poruszają się z różnymi prędkościami fazowymi. Szybko jednak wyłania się jeden większy grzbiet, który jest wynikiem superpozycji fal o różnej częstotliwości - on porusza się z prędkością grupową.

Definicja i interpretacja

Definicja

Prędkość grupowa v_g zdefiniowana jest jako

Failed to parse (unknown function "\math"): {\displaystyle v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k}<\math> gdzie ''\omega'' == W mechanice kwantowej == W [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]], zgodnie z [[Hipoteza de Broglie'a|hipotezą de Broglie'a]], każdej cząstce odpowiada paczka fal zespolonych zwanych falami materii, dla tych fal: :<math>v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{\partial (E/\hbar)}{\partial (p/\hbar)} = \frac{\partial E}{\partial p}}

gdzie: E - energia kinetyczna cząstki, p jej pęd, $\hbar$ stała Diraca. Używając mechaniki relatywistycznej, stwierdza się że:

$v_{g}={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}\right)={\frac {pc^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}={\frac {\gamma mvc^{2}}{\sqrt {{\gamma }^{2}m^{2}v^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}={\frac {\gamma vc}{\sqrt {{\gamma }^{2}v^{2}+c^{2}}}}=v$

Wynik ten oznacza, że bez względu na masę cząstki, jej prędkość i inne parametry, prędkość grupowa fali materii odpowiada prędkości ruchu cząstki, co jest zgodne z oczekiwaniami.

Wzór na prędkość grupową

Fala modulowana może być przedstawiona jako suma dwóch fal o różnych i niewiele różniących się częstościach. Przyjmując, że fazy początkowe obu fal są równe zero, różnica faz obu fal wynosi:

$\Delta \phi =\phi _{1}(z,t)-\phi _{2}(z,t)=(\omega _{1}t-k_{1}z)-(\omega _{2}t-k_{2}z)\,$

Fale wzmacniają się gdy mają jednakowe fazy, oznacza to że, by poruszać się z prędkością rozchodzenia się wzmocnienia trzeba poruszać się z jego prędkością, czyli dla takiej samej fazy. Oznacza to, że różniczka powyższego wyrażenia jest równa zero

$(\omega _{1}dt-k_{1}dz)-(\omega _{2}dt-k_{2}dz)=(\omega _{1}-\omega _{2})dt-(k_{1}-k_{2})dz=0\,$

Prędkość jest równa dz/dt, czyli:

$v_{g}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{k_{2}-k_{1}}}={\frac {d\omega }{dk}}$

Związek z prędkością fazową

Między prędkością grupową $v_{g}$ a fazową $v_{p}$ istnieją zależności:

$v_{\rm {g}}=v_{\rm {p}}+k\cdot {\frac {dv_{\rm {p}}}{dk}}$   

lub

$v_{\rm {g}}=v_{\rm {p}}-\lambda \cdot {\frac {dv_{\rm {p}}}{d\lambda }}$

Z zależności tych wynika, że fala ulega dyspersji gdy prędkość fazowa zależy od długości fali (liczby falowej), a gdy prędkość fazowa nie zależy od długości fali, to fala nie ulega dyspersji.

Wyprowadzenie zależności

Z definicji prędkości fazowej $v_{p}$ wynika:

$v_{\rm {p}}={\frac {\omega }{k}}=\lambda \cdot f$

Związki dla wielkości opisujących fale: długość fali λ, częstotliwość f:

$\omega =2\pi f\,$

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}$

$\omega =v_{\rm {p}}k\,$

to

${\frac {d\omega }{dk}}={\frac {d}{dk}}v_{\rm {p}}k=v_{\rm {p}}{\frac {dk}{dk}}+k{\frac {dv_{\rm {p}}}{dk}}$

$v_{\rm {g}}=v_{\rm {p}}+k\cdot {\frac {dv_{\rm {p}}}{dk}}$

${\frac {d}{dk}}={\frac {d}{d\lambda }}\cdot {\frac {d\lambda }{dk}}$   i   $\quad {\frac {d\lambda }{dk}}={\frac {d{\frac {2\pi }{k}}}{dk}}=-{\frac {2\pi }{k^{2}}}$

$v_{\rm {g}}=v_{\rm {p}}-\lambda \cdot {\frac {dv_{\rm {p}}}{d\lambda }}$

Linki zewnętrzne

• Subluminal - animacja obrazująca różnicę między prędkością grupową i fazową
• Group and Phase Velocity - aplet javy.

Kategoria:Fale en:Group velocity