# User:Thore Husfeldt/TSP translated from DE

The Travelling Salesman problem (TSP) is a problem in combinatorial optimization studied in operations research and theoretical computer science. Given a list of cities and their pairwise distances, the task is to find a shortest possible tour that visits every city exactly once.

The problem was first formulated as a mathematical problem in 1930 and is one of the most intensively studied problems in optimization. It is used as a benchmark for many optimization methods. Even though the problem is computationally difficult, a large number of heuristics and exact methods are known, so that some instances with tens of thousands of cities can be solved.

The TSP has several applications even in its purest formulation, such as planning, logistics, and the manufacture of microchips. Slighlty modified, it appears as a sub-problem in many areas, such as genome sequencing. In these applications, the concept city represents, for example, customers, soldering points, or DNA fragments, and the concept distance represents travelling times or cost, or a similarity measure between DNA fragments. In many applications, additional constraints such as limited resources or time windows make the problem considerably harder.

In the theory of computational complexity, TSP belongs to the class of NP-complete problems. Thus, it is assumed that there is no efficient algorithm for solving TSP problems. Especially, it is plausible that the worst case running time for an algorithm for TSP depends exponentially on the number of cities, so that even some instances with only dozens of cities cannot be solved exactly.

## History

The origins of the travelling salesman problem are unclear. A handbook for travelling salemen from 1832 mentions the problem and includes example tours through Germany and Switzerland, but contains no mathematical treatment.[1]

William Rowan Hamilton

Mathematical problems related to the travelling salesman problem were treated in the 1800s by the Irish mathematician R. W. Hamilton and by the British mathematician Thomas Kirkman. Hamilton’s Icosian Game was a recreational puzzle based on finding a Hamiltonian cycle.[2] The general form of the TSP appears to have been first studied by mathematicians during the 1930s in Vienna and at Harvard, notably by Karl Menger.

We define as the Postman Problem (because this question has to be solved in practice by every postman, and also by many travellers) the task to find the shortest path that connects a finite set of given points whose pair-wise distances are known.

[3]

Hassler Whitney at Princeton University introduced the name travelling salesman problem soon after. [4]

In the 1950s and 1960s, the problem became increasingly popular in scientific circles in Europe and the USA. Notable contributions we made by George Dantzig, Delbert Ray Fulkerson and Selmer M. Johnson at the RAND Corporation in Santa Monica, who expressed the problem as an integer linear program and developed the cutting plane method for its solution. With these new methods they solved an instance with 49 cities to optimality by constructed a tour and proving that no other tour could be shorter. In the following decades, the problem was studied by many researchers from mathematics, computer science, chemistry, physics, and other sciences.

Richard M. Karp showed in 1972 that the Hamiltonian cycle problem was NP-complete, which implies the NP-hardness of TSP. This supplied a scientific explanation for the apparent computational difficulty of finding optimal tours.

Great progress was made in the late 1970s and 1980, when Grötschel, Padberg, Rinaldi and other managed to exactly solve instances with up to 2392 cities, using cutting planes and branch-and-bound.

In the 1990s, Applegate, Bixby, Chvátal, and Cook developed the program Concorde that has been used in many recent record solution. Gerhard Reinelt published the TSPLIB in 1991, a collection of benchmark instances of varying difficulty, which has been used by many research groups for comparing results. In 2005, Cook and others computed an optimal tour through a 33,810-city instance given by a microchip layout problem, currently the largest solved TSPLIB instance. For many other instances with millions of cities, solutions can be found that are provably within 1% of optimal tour.

## Description

### As a graph problem

Symmetric TSP with four cities

TSP can be modelled as a graph: the graph’s vertices correspond to cities and the graph’s edgess correspond to connections between cities, the weight of an edge is the corresponding connection’s distance. A TSP tour is now a Hamiltonian cycle in the graph, and an optimal TSP tour is a shortest Hamiltonian cycle.

Often, the underlying graph is a complete graph, so that every pair of vertices is connected by an edge. This is a useful simplifying step, because makes it easy to find a solution, however bad, because the Hamiltonian cycle problem i complete graphs is easy. Instances where not all cities are connected can be transformed into complete graphs by adding very heavy edges between these cities, edges that will not appear in the optimal tour.

#### Asymmetric and symmetric

In the symmetric TSP, the distance between two cities is the same in each direction. Thus, the underlying structure is an undirected graph between; especially, each tour has the same length in both directions. This symmetry halves the number of feasible solutions.

In the asymmetric TSP, the distance from one city to the other need not equal the distance in the other direction, in general, there may not even be a connection in the other direction. Thus, the underlying structure is a directed graph. For example, the asymmetric case models one-way streets or air-fares that depend on the direction of travel.

#### With metric distanes

In the metric TSP the intercity distances satisfy the triangle inequality. This can be understood as “no shortcuts”, in the sense that the direct connection from A to B is never longer than the detour via C.

${\displaystyle c_{ij}\leq c_{ik}+c_{kj}}$

These edge lengths define a metric on the set of vertices. When the cities are viewed as points in the plane, many natural distance functions are metrics.

• in the Euclidian TSP the distance between two cities is the euclidian distance between the corresponding points.
• in the Rectilinear TSP the distance between two cities is the sum of the differences of their x- and y-coordinates. This metric is often called the Manhattan distance or city-block metric;
• in the the maximum metric the distance between two points is the maximum of the differences of their x- and y-coordinates.

The last two metrics appear for example in routing a machine that drills a given set of holes a printed circuit. The Manhattan metric corresponds to a machine that adjusts first one co-ordinate, and then the other, so the time to move to a new point is the sum of both movements. The maximum metric corresponds to a machine that adjusts both co-ordinates simultaneously, so the time to move to a new point is the slowest of the two both movements.

### Non-metric distances

Distance measures that do not satisfy the triangle inequality arise in many routing problems. For example, one mode of transportation, such as travel by airplane, may be faster, even though it covers a longer distance.

In its definition, the TSP does not allow cities to be visited twice, but many applications so not need this constraint. In such cases, a symmetric, non-metric instance can be reduced to a metric one. This replaces the original graph with a complete graph in which the distance inter-city distance ${\displaystyle c_{ij}}$ is replaced by the shortest path between ${\displaystyle i}$ und ${\displaystyle j}$ in the original graph.

### Formulierung als ganzzahliges lineares Programm

Ein Ansatz zur Lösung des Problems ist die Formulierung als ganzzahliges lineares Programm, in dem die Entscheidungen durch Variablen und die Bedingungen durch lineare Ungleichungen beschrieben werden. Hierfür gibt es mehrere mögliche Varianten. Beispielhaft soll hier eine Modellierung für das symmetrische TSP mit Knotenmenge ${\displaystyle V}$ vorgestellt werden. Für jede Kante ${\displaystyle \{i,j\}}$ wird eine binäre Variable ${\displaystyle x_{ij}\in \{0,1\}}$ eingeführt, die für eine gegebene Tour angibt, ob die Kante ${\displaystyle \{i,j\}}$ in dieser Tour enthalten ist (${\displaystyle x_{ij}=1}$) oder nicht (${\displaystyle x_{ij}=0}$). Jede Tour lässt sich auf diese Art durch Angabe der zugehörigen Variablenwerte angeben, aber nicht jede 0-1-Belegung der Variablenwerte definiert eine Tour. Die Bedingungen dafür, dass eine Variablenbelegung eine Tour definiert, lassen sich durch lineare Ungleichungen ausdrücken, die im folgenden vorgestellt werden sollen.

thumb|Gradbedingung: In jeden Knoten i muss genau eine Kante der Tour hinein- bzw. hinausgehen. Jeder Knoten muss über genau zwei Tourkanten mit den restlichen Knoten verbunden sein, nämlich durch eine hinein- und eine hinausführende Kante:

${\displaystyle \sum _{j\in V\setminus \{i\}}x_{ij}=2\qquad (1)}$

für alle ${\displaystyle i\in V}$. In der Summe ist jeder Summand ${\displaystyle x_{ij}}$ entweder 1 (in der Tour enthalten) oder 0 (nicht enthalten). Die Summe zählt daher genau die Zahl der Kanten der Tour, die den Knoten ${\displaystyle i}$ als Endknoten haben. Sie muss den Wert 2 annehmen, da jeweils eine Kante hinein- und hinausführen muss. Im nebenstehenden Bild ist ein Knoten ${\displaystyle i}$ mit ein- und ausgehenden Kanten dargestellt, wobei die Tourkanten fett gekennzeichnet sind. An den Kanten stehen die Werte ${\displaystyle x_{ij}}$, die zu den oben genannten Summen beitragen.

thumb|Kurzzyklen: Diese Variablenbelegung erfüllt alle Gradbedingungen, definiert aber keine Tour. Die obigen Gradbedingungen werden nicht nur von Touren erfüllt, sondern auch von Variablenbelegungen, die mehrere getrennte Kreise (sogenannte Kurzzyklen) beschreiben, wobei jeder Knoten in genau einem Kreis enthalten ist (siehe Bild). Um so etwas auszuschließen, müssen noch Kurzzyklusungleichungen (auch Subtour-Eliminationsbedingungen genannt) erfüllt werden. Diese von Dantzig, Fulkerson und Johnson 1954 als loop conditions eingeführten Nebenbedingungen besagen, dass jede Knotenmenge ${\displaystyle S\subset V}$, die weder leer ist noch alle Knoten enthält, durch mindestens zwei Kanten der Tour mit den restlichen Knoten verbunden sein muss:

${\displaystyle \sum _{i\in S,\;j\notin S}x_{ij}\geq 2\qquad (2)}$

für alle Knotenmengen ${\displaystyle S}$ mit ${\displaystyle 1\leq |S|\leq |V|-1}$. Die Summe zählt alle Kanten der Tour zwischen einem Knoten ${\displaystyle i\in S}$ und einem anderen Knoten ${\displaystyle j\notin S}$. Zur Vermeidung redundanter Ungleichungen kann man sich auch auf Knotenmengen ${\displaystyle S}$ mit mindestens zwei und höchstens ${\displaystyle |V|-2}$ Knoten beschränken. Im nebenstehenden Bild sind wieder die Kanten ${\displaystyle \{i,j\}}$ mit ${\displaystyle x_{ij}=1}$ fett gezeichnet, während die übrigen Kanten den Wert ${\displaystyle x_{ij}=0}$ haben. Das Hinzufügen der Bedingung (2) für die Knotenmenge ${\displaystyle S}$, die aus den drei linken Knoten besteht, würde dafür sorgen, dass S durch mindestens zwei Tourkanten mit den drei rechten Knoten verbunden sein muss, und damit die beiden gezeigten Kurzzyklen ausschließen. Die Anzahl der Subtour-Eliminationsbedingungen nach Dantzig, Fulkerson und Johnson beträgt ${\displaystyle 2^{n}-2(n-1)}$. Eine 1960 von Miller, Tucker und Zemlin veröffentliche alternative Darstellung der Nebenbedingungen zur Vermeidung von Subtouren kommt durch Einführung von ${\displaystyle n}$ neuen Variablen, die die Reihenfolge der besuchten Orte angeben, mit nur ${\displaystyle n^{2}-n+1}$ Nebenbedingungen aus. Allerdings bleibt das TSP wegen der Binarität der ${\displaystyle x_{ij}}$ auch mit der Formulierung nach Miller, Tucker und Zemlin weiterhin NP-schwer.

Da jeder Vektor ${\displaystyle x=(x_{ij})_{i,j\in V}}$ mit Einträgen aus 0 und 1, der alle diese Ungleichungen erfüllt, eine gültige Rundreise definiert, ergibt sich als reformuliertes Problem des Handlungsreisenden: Finde

${\displaystyle \min \;\left\{\sum _{i\in V}\sum _{j\in V\setminus \{i\}}c_{ij}x_{ij}\;|\;x{\mbox{ erf}}{\rm {{\ddot {u}}{\mbox{llt (1) und (2) }},\;x_{ij}\in \{0,1\}}}\right\}.\qquad (3)}$

Da die Variablen ${\displaystyle x_{ij}}$ nur die Werte 0 oder 1 annehmen, zählt die Summe genau die Längen ${\displaystyle c_{ij}}$ der Kanten ${\displaystyle \{i,j\}}$ zusammen, die in der Tour enthalten sind.

Die Zahl der Ungleichungen vom Typ (2) wächst exponentiell mit der Anzahl der Städte, da fast jede der ${\displaystyle 2^{|V|}}$ Teilmengen von Knoten eine Ungleichung definiert. Dieses Problem kann aber mit Hilfe von Schnittebenenverfahren umgangen werden, bei denen diese Ungleichungen erst dann hinzugefügt werden, wenn sie tatsächlich gebraucht werden. Geometrisch lässt sich jede lineare Ungleichung als Hyperebene im Raum der Variablen interpretieren. Die Menge der zulässigen Lösungen bildet in diesem Raum ein Polytop, also ein mehrdimensionales Vieleck, dessen genaue Gestalt von den Kosten ${\displaystyle c_{ij}}$ abhängt und meist unbekannt ist. Man kann aber zeigen, dass die meisten der Bedingungen (1) und (2) Facetten des TSP-Polytops definieren, also Seitenflächen des Polytops mit höchstmöglicher Dimension. Damit gehören sie zu den stärksten linearen Ungleichungen, die es zur Beschreibung einer Tour geben kann. Es gibt noch viele weitere Facetten, deren zugehörige Ungleichungen allerdings nur in wenigen Fällen bekannt sind. Obwohl (1) und (2) zusammen mit der Beschränkung auf 0/1-Vektoren das Problem vollständig modellieren, können solche zusätzlichen Ungleichungen innerhalb eines Branch-and-Cut-Verfahrens zur Formulierung hinzugefügt werden, um bestimmte LP-Lösungen mit nicht-ganzzahligen Koordinaten auszuschließen (siehe Abschnitt Exakte Lösungsverfahren).

## Algorithmische Komplexität

Da dem Handlungsreisenden in jedem Schritt die Städte zur Auswahl stehen, die er noch nicht besucht hat, gibt es (n-1)! mögliche Touren für ein asymmetrisches und ${\displaystyle (n-1)!/2}$ Touren für ein symmetrisches TSP. Die Größe des Suchraums hängt also überexponentiell von der Anzahl der Städte ab.

Das Problem des Handlungsreisenden ist sowohl für den allgemeinen als auch für den symmetrischen oder metrischen Fall NP-äquivalent. Unter der allgemein vermuteten, bisher aber unbewiesenen Annahme, dass die Komplexitätsklassen P und NP verschieden sind (siehe P-NP-Problem), folgt daraus, dass keine deterministische Turingmaschine existiert, die das Problem für jede Instanz in polynomialer Laufzeit bezüglich der Anzahl der Städte löst.

Ferner ist bekannt, dass es unter der Annahme P${\displaystyle \neq }$NP für das allgemeine Problem des Handlungsreisenden keinen Polynomialzeitalgorithmus geben kann, der für irgendein Polynom ${\displaystyle p}$ grundsätzlich eine Lösung berechnet, deren Wert höchstens um einen Faktor ${\displaystyle 2^{p(n)}}$ vom Optimalwert abweicht.

Allerdings lassen sich für das metrische TSP Approximationsalgorithmen angeben, die in polynomieller Laufzeit eine Lösung liefern, die höchstens doppelt (Minimum-Spanning-Tree-Ansatz) bzw. höchstens 1,5 mal (Algorithmus von Christofides) so lang wie die optimale Lösung ist (siehe unten). Bisher ist kein Polynomialzeitalgorithmus mit einer besseren Gütegarantie als 1,5 bekannt. Unter der Annahme P${\displaystyle \neq }$NP gibt es eine (unbekannte) Konstante ${\displaystyle c>0}$, so dass kein Polynomialzeitalgorithmus für das metrische TSP existieren kann, der die Güte ${\displaystyle 1+c}$ garantiert. Arora hat gezeigt, dass für das euklidische TSP ein polynomiales Approximationsschema (PTAS) existiert.

## Lösungsverfahren

Die bekannten Lösungsverfahren unterteilen sich in zwei Gruppen, die miteinander kombiniert werden können. Exakte Lösungsverfahren finden – beliebig lange Laufzeit vorausgesetzt – grundsätzlich eine beweisbare Optimallösung. Heuristische Verfahren finden oft in kurzer Zeit gute Lösungen, die aber im allgemeinen Fall beliebig schlecht sein können. Für das metrische TSP gibt es polynomiale Heuristiken, deren Lösungen grundsätzlich höchstens um den Faktor 1,5 bzw. 2 länger sind als eine kürzeste Rundreise.

### Exakte Lösungsverfahren

Hauptartikel: Branch-and-Cut

Das Problem des Handlungsreisenden kann exakt gelöst werden, indem man die Weglängen aller möglichen Rundreisen berechnet und dann eine mit der kleinsten Weglänge auswählt. Das ist aber schon bei einer kleinen Zahl von Städten nicht mehr praktisch durchführbar. Bei der einfachsten Variante, dem symmetrischen TSP mit ${\displaystyle n}$ Städten, gibt es ${\displaystyle (n-1)!/2}$ verschiedene Rundreisen, das sind bei 15 Städten über 43 Milliarden und bei 18 Städten bereits über 177 Billionen. Wie schnell die Rechenzeit mit wachsender Anzahl von Städten wächst zeigt das folgende Beispiel. Hat man einen Rechner, der die Lösung für 30 Städte in einer Stunde berechnet, dann braucht dieser für zwei zusätzliche Städte annähernd die tausendfache Zeit; das sind mehr als 40 Tage.

[[Bild:TSP_cutting_plane.png|thumb|TSP auf drei Knoten: Die rot gestrichelte Schnittebene ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}\geq 2}$ schneidet alle unzulässigen Lösungen mit höchstens einer Kante ab. Alle Punkte im roten Polytop erfüllen diese Ungleichung, u. a. der einzige zulässige Punkt (1,1,1).]] Mit Methoden der ganzzahligen linearen Optimierung, insbesondere Branch-and-Cut, lassen sich dagegen Instanzen in praktisch relevanten Größenordnungen beweisbar optimal lösen, oder zumindest die Güte einer gefundenen Tour im Vergleich zu einer Optimallösung abschätzen. Geometrisch interpretiert, betrachten diese Verfahren das Problem als konvexes Polytop, also als mehrdimensionales Vieleck, im ${\displaystyle m}$-dimensionalen Einheitswürfel ${\displaystyle [0,1]^{m}}$, wobei ${\displaystyle m}$ die Anzahl der Kanten des Graphen ist. Jede Ecke dieses Einheitswürfels beschreibt eine Tour, sofern der zugehörige 0/1-Vektor die oben beschriebenen linearen Ungleichungen erfüllt. Die zu diesen Ungleichungen gehörenden Hyperebenen schneiden daher Ecken des Einheitswürfels ab, die keine Tour darstellen.

Das nebenstehende Bild illustriert dies für das (sehr einfache) TSP mit drei Knoten. Entsprechend den drei möglichen Kanten zwischen diesen Knoten gibt es auch drei binäre Variablen ${\displaystyle x_{1},\,x_{2}}$ und ${\displaystyle x_{3}}$. Es gibt in diesem Fall nur eine mögliche Tour, nämlich diejenige, die alle drei Kanten benutzt. Diese Tour erfüllt die Ungleichung ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}\geq 2}$, die besagt, dass jede Tour mindestens zwei Kanten haben muss. Außer dieser Tour, die dem Punkt (1,1,1) entspricht, erfüllen auch alle Punkte im rot eingegrenzten Bereich diese Ungleichung. Die zugehörige Schnittebene, die durch die rot gestrichelten Linien aufgespannt wird, schneidet also alle Ecken ab, die unmöglichen Touren mit höchstens einer Kante entsprechen, nämlich den Nullvektor (0,0,0) und die Einheitsvektoren (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1). Die stärkere Ungleichung ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}\geq 3}$ würde alles vom Einheitswürfel abschneiden außer dem einzigen zulässigen Punkt (1,1,1). In diesem speziellen Fall lässt sich derselbe Effekt auch schon durch die drei Ungleichungen vom Typ (1) erzielen.

Durch Lösen vieler linearer Programme, Abschneiden nicht benötigter Teile des Einheitswürfels mit Hilfe weiterer Schnittebenen (z. B. vom Typ (2), oder auch Kamm-, Cliquenbaum- und Domino-Parity-Ungleichungen[5]) sowie durch Aufteilung in mehrere Teilpolytope mit Hilfe von Branch-and-Bound wird versucht, eine zulässige 0/1-Ecke mit minimalem Zielfunktionswert zu bestimmen. Eine genauere Beschreibung dieser Verfahren ist im Artikel Ganzzahlige lineare Optimierung zu finden.

Die alleinige Anwendung dieser Verfahren reicht meist nicht aus, um schnell gute Rundreisen zu finden. Ihr Hauptvorteil liegt darin, dass sie Angaben liefern, wie lang eine kürzeste Tour mindestens sein muss. Mit einer solchen unteren Schranke für den optimalen Lösungswert lässt sich abschätzen, wie gut eine gefundene Tour im Vergleich zu einer optimalen Rundreise ist, ohne diese zu kennen. Hat man beispielsweise eine untere Schranke von 100 und eine Tour der Länge 102 gefunden, kann eine optimale Tour nur zwischen 100 und 102 liegen. Die so genannte Optimalitätslücke, also der maximale relative Abstand zwischen der optimalen Tourlänge und der kürzesten bekannten Tourlänge, beträgt daher (102-100)/100 = 2 %, d. h; der gefundene Lösungswert 102 ist höchstens 2 % vom Optimalwert entfernt. Wenn die Länge einer gefundenen Tour genauso groß ist wie die untere Schranke, ist damit bewiesen, dass die gefundene Lösung optimal ist. Um gute Touren zu finden, können diese exakten Verfahren mit Heuristiken kombiniert werden, von denen einige im nachfolgenden Abschnitt beschrieben werden.

### Heuristiken

Um schnell zu brauchbaren Lösungen zu kommen, sind meist durch Heuristiken motivierte Näherungsverfahren notwendig, die aber in der Regel keine Güteabschätzung für die gefundenen Lösungen liefern. Je nachdem, ob eine Heuristik eine neue Tour konstruiert oder ob sie versucht, eine bestehende Rundreise zu verbessern, wird sie als Eröffnungs- (auch Konstruktions-) oder Verbesserungsverfahren bezeichnet. Darüber hinaus gibt es Dualheuristiken, die Mindestlängen für eine Tour berechnen. Metaheuristiken können mehrere dieser Einzelheuristiken unterschiedlich kombinieren. Eine Übersicht über die meisten der hier vorgestellten Heuristiken ist im Abschnitt Übersicht zu finden.

#### Eröffnungsverfahren

[[Bild:Nearest_Neighbor_Heuristik.svg|thumb|Die Nearest-Neighbor-Heuristik besucht in jedem Schritt den nächstgelegenen Knoten.]] Dem intuitiven Vorgehen eines Handlungsreisenden entspricht wohl am ehesten die Nearest-Neighbor-Heuristik (nächster Nachbar). Von einer Stadt ausgehend wählt diese jeweils die nächstgelegene als folgenden Ort aus. Dieses wird sukzessive fortgesetzt, bis alle Städte bereist wurden und der Handlungsreisende zum Ausgangsort zurückgekehrt ist. Die hiermit verwandte Farthest-Neighbor-Heuristik besucht in jedem Schritt die am weitesten entfernt liegende Stadt. In jeder Stadt muss also der kürzeste bzw. weiteste ausgehende Weg gesucht werden. Maximal kann es pro Stadt nur so viele ausgehende Kanten geben, wie Knoten im Graphen vorhanden sind. Daraus ergibt sich eine algorithmische Komplexität von O(n²), die Anzahl der Rechenschritte hängt also quadratisch von der Zahl der Städte ab. Dass diese Heuristik im Allgemeinen jedoch nicht die beste Lösung liefert, liegt daran, dass die Distanz zwischen der Ausgangsstadt und der letzten besuchten Stadt bis zuletzt nicht berücksichtigt wird. Die Nearest- und die Farthest-Neighbor-Heuristik können beliebig schlechte Ergebnisse liefern, das heißt, es gibt keinen konstanten, instanzunabhängigen Approximationsfaktor für den Lösungswert im Vergleich zum Optimalwert.

Eine ganze Klasse weiterer Eröffnungsverfahren bilden die sogenannten Einfüge-Heuristiken. Die einfachsten Varianten davon sind die Nearest-Insertion-Heuristik (nächste Einfügung) und die Farthest-Insertion-Heuristik (entfernteste Einfügung). Gegeben seien (wenige) einander benachbarte Städte, für die sich durch exakte Verfahren schnell eine optimale Rundreise ermitteln lässt. Nun wird schrittweise überprüft, welche noch nicht besuchte Stadt am nächsten (beziehungsweise am entferntesten) zu einer der Verbindungslinien der bisherigen Rundreise liegt. Ist diese Stadt gefunden, so wird sie zwischen den ihr am nächsten liegenden Städten in die Tour eingebaut. Das Verfahren wird solange fortgesetzt, bis die Rundreise alle Städte umfasst. Auch die Lösungen dieser Heuristik können im Vergleich zu einer Optimallösung beliebig schlecht sein.

[[Bild:Minimum_spanning_tree.svg|thumb|left|Ein minimal aufspannender Baum verbindet alle Punkte eines Graphen bei minimaler Kantenlänge]] Eine andere Klasse von Heuristiken unterteilt die Knotenmenge in einzelne Partitionen (z. B. nach geographischen Kriterien), die jeweils teiloptimiert werden. Anschließend werden die Teillösungen zu einer Gesamtlösung kombiniert. Diese ist in der Regel nur lokal optimal und kann gegenüber dem globalen Optimum beliebig schlecht sein.

Die Minimum-Spanning-Tree-Heuristik (MST) berechnet zunächst einen minimal aufspannenden Baum, also einen Graphen, in dem alle Punkte miteinander verbunden sind und der minimale Länge besitzt. Davon ausgehend wird eine Tour konstruiert, indem zunächst alle Baumkanten verdoppelt werden und danach eine „Eulertour“ in dem entstandenen eulerschen Graphen gesucht wird. Diese wird zuletzt durch direkte Kanten abgekürzt, falls Knoten doppelt besucht werden. Im Falle eines metrischen TSP kann man zeigen, dass die so konstruierte Tour höchstens doppelt so lang ist wie eine kürzeste Tour.

Eine noch bessere Approximationsgüte für metrische TSP wird durch die Christofides-Heuristik erreicht. Mit ihr kann eine Rundreise berechnet werden, die höchstens eineinhalb mal so lang wie eine optimale ist. Hierbei wird statt der Verdopplung der Kanten in der MST-Heuristik eine kleinste perfekte Paarung auf den Knoten ungeraden Grades im minimal aufspannenden Baum berechnet, um einen eulerschen Graphen zu erzeugen. Dieser Algorithmus ist jedoch aufwändiger.

#### Verbesserungsverfahren

Verbessernde Optimierungsverfahren, auch Post-Optimization-Verfahren (Nach-Optimierung) versuchen, eine bestehende Tour durch kleine Modifikationen zu verkürzen. Führt keine der betrachteten Änderungen mehr zu einer Verbesserung, so ist ein lokales Optimum gefunden (aber nicht notwendigerweise ein globales). Die k-Opt-Heuristiken verfolgen diesen Ansatz, indem sie systematisch Gruppen von ${\displaystyle k}$ Kanten aus der Tour entfernen und durch ${\displaystyle k}$ andere Kanten ersetzen, so dass wieder eine Tour entsteht. Da eine vollständige Durchführung dieses Verfahrens einer Aufzählung aller möglichen Touren entsprechen würde, ist ${\displaystyle k}$ in praktischen Implementierungen üblicherweise höchstens 5. Dabei werden oft alle Austauschmöglichkeiten von zwei und drei Kanten durchprobiert, während Kantenaustausche von mehr als drei Kanten wegen des Rechenaufwandes nur noch sehr sparsam eingesetzt werden.

Die Güte einer k-Opt-Heuristik in der Praxis hängt stark von der Auswahl der auszutauschenden Kanten und des Parameters ${\displaystyle k}$ ab, für die es verschiedene heuristische Kriterien gibt. Eine bekannte k-Opt-basierte Heuristik ist die Lin-Kernighan-Heuristik, die 1973 von S. Lin und B.W. Kernighan entwickelt wurde und in der Implementierung von Keld Helsgaun[6] unter anderem an der optimalen Lösung des TSP durch 24.978 schwedische Städte im Jahre 2004 beteiligt war. Sie basiert darauf, erst alle Austauschmöglichkeiten von zwei Kanten durchzutesten, dann solche mit drei Kanten, usw., bis eins von mehreren möglichen Abbruchkriterien erfüllt ist.

#### Metaheuristische Verfahren

Metaheuristiken kombinieren lokale und globale Suchverfahren in einer abstrakten Strategie für die heuristische Optimierung eines Problems. Viele dieser Verfahren basieren auf lokaler Suche, d. h. sie berechnen eine heuristische Startlösung (beispielsweise mit der Nearest-Neighbor-Heuristik) und verbessern diese solange durch ein lokales Suchverfahren, wie z. B. K-Opt-Heuristiken, bis keine bessere Tour mehr gefunden wird. Durch verschiedene Strategien, wie beispielsweise Tabu-Suche oder Simulierte Abkühlung, kann versucht werden, das Steckenbleiben in lokalen Minima weitestgehend zu verhindern. Andere Ansätze, wie Ameisenalgorithmen, genetische Algorithmen oder künstliche neuronale Netze (dort vor allem das Hopfield-Netz), haben natürliche Prozesse als Vorbild. Prinzipiell können all diese Verfahren gute Lösungen berechnen, aber auch beliebig schlecht im Vergleich zu einer Optimallösung sein. Ihre Qualität und Laufzeit hängen wesentlich von der Definition und Implementierung der einzelnen Schritte ab.

#### Duale Heuristiken

Das Problem des Handlungsreisenden ist eines der wenigen kombinatorischen Optimierungsprobleme, bei dem sich auf einfache Weise brauchbare untere Schranken für die minimale Länge einer Tour (allgemein: die minimalen Kosten einer Lösung) angeben lassen. Diese Schranken sind insbesondere wichtig um Aussagen über die Güte einer zulässigen Tour zu treffen. Da beispielsweise jede Tour, also insbesondere auch eine optimale, genau ${\displaystyle n}$ Kanten enthält, muss sie mindestens so lang sein wie die Summe der ${\displaystyle n}$ kleinsten Kantenlängen. Eine andere untere Schranke ergibt sich aus der Beobachtung, dass beim Löschen einer beliebigen Kante aus einer Tour ein aufspannender Baum entsteht, also ein Teilgraph, der alle Knoten, aber keine Kreise enthält. Die Tour ist mindestens so lang wie dieser Baum und damit per Definition auch mindestens so lang wie ein minimal aufspannender Baum (also ein aufspannender Baum mit minimaler Summe der Kantenlängen), der sich leicht bestimmen lässt. Da dies für jede Tour gilt, liefert die Länge eines minimal aufspannenden Baums eine untere Schranke für die Länge einer optimalen Tour. Etwas allgemeiner kann man auch einen sogenannten minimalen 1-Baum berechnen. Dies ist ein minimal aufspannender Baum zwischen den Knoten 2 bis ${\displaystyle n}$ (bei beliebiger Nummerierung), der über die zwei kürzestmöglichen Kanten an den Knoten mit der Nummer 1 angebunden wird (daher der Name). Auch dessen Länge liefert eine untere Schranke. Weiterhin ist jede Tour auch ein perfektes 2-Matching. Das bedeutet also, dass eine kürzeste Tour mindestens so lang sein muss, wie der Wert eines minimalen perfekten 2-Matchings, das sich in O(n³) berechnen lässt.

#### Übersicht

In der folgenden Übersichtstabelle sind für die meisten hier vorgestellten Heuristiken der Typ des Verfahrens, die maximale Laufzeit bei ${\displaystyle n}$ Städten sowie evtl. Gütegarantien für die berechneten Lösungen aufgeführt. Da die Laufzeit und Qualität von Metaheuristiken stark von der Wahl der Teilalgorithmen abhängig sind und sich nicht allgemein angeben lassen, sind sie hier nicht aufgeführt.

Verfahren Typ Laufzeit Max. Abweichung vom Optimum
Nearest-/Farthest-Neighbor-Heuristik Eröffnungsheuristik O(n²) beliebig groß
Nearest-/Farthest-Insertion-Heuristik Eröffnungsheuristik O(n²) beliebig groß
Minimum-Spanning-Tree-Heuristik Eröffnungsheuristik O(n² log n) Faktor 2 (metrisches TSP)
Christofides-Heuristik Eröffnungsheuristik O(n³) Faktor 1,5 (metrisches TSP)
K-Opt-Heuristik Verbesserungsheuristik O(k!) pro Schritt beliebig groß
Summe der n kürzesten Kanten Dualheuristik O(n² log n) beliebig groß
Länge eines minimalen aufspannenden Baumes Dualheuristik O(n² log n) beliebig groß

### Praktische Grenzen der Berechenbarkeit

Die größte Instanz eines (symmetrischen) Rundreiseproblems, die bisher nachweisbar optimal gelöst wurde, ist ein Planungsproblem für das Layout integrierter Schaltkreise mit 33.810 Knoten. Dieser Rekord wurde im Jahre 2005 von William Cook und anderen mit Hilfe einer Kombination aus verschiedenen Heuristiken und dem Branch-and-Cut-basierten Programm Concorde aufgestellt, wobei frühere Teilergebnisse verschiedener universitärer Arbeitsgruppen als Grundlage verwendet wurden[5]. Die bis dahin größte optimal gelöste Instanz bestand aus 24.978 schwedischen Städten, gelöst im Jahre 2004. Mit Hilfe spezieller Dekompositionstechniken und dem Einsatz mehrerer paralleler Computer haben William Cook u. a. Touren für ein TSP auf über 526 Millionen Sternen gefunden, deren Länge nachweislich höchstens 0,798 % vom Optimum abweicht.

Aus der Tatsache, dass ein TSP einer bestimmten Größe optimal gelöst werden konnte, folgt jedoch nicht, dass jede Instanz dieser Größe optimal gelöst werden kann, da – wie bei den meisten kombinatorischen Optimierungsproblemen – die Schwierigkeit der Lösung stark von den Eingabeparametern (in diesem Fall den Kantengewichten) abhängt. Ein kleineres Problem kann deutlich schwerer lösbar sein; beispielsweise gibt es in der TSPLIB eine aufgrund ihrer vielen Symmetrien schwer optimal zu lösende Instanz mit nur 225 Städten[7]. Bei TSPs, die aus praktischen Anwendungen entstehen, müssen oft noch weitere Nebenbedingungen, wie beispielsweise Zeitfenster, berücksichtigt werden. Daher sind in der Regel die größten optimal lösbaren Probleminstanzen solcher Varianten deutlich kleiner als beim klassischen Problem des Handlungsreisenden, so dass in der Praxis oft auf heuristische Ansätze zur Lösung zurückgegriffen wird. Kombinationen von heuristischen Verfahren mit LP-basierten Verfahren wie Branch-and-Cut werden vor allem im Forschungsumfeld eingesetzt, um mit Hilfe unterer Schranken für die Tourlänge die Qualität von Lösungen und Lösungsverfahren beurteilen zu können.

## Varianten und Anwendungen

Schon die in den vorhergehenden Abschnitten beschriebene klassische Variante des Problems tritt in vielen Anwendungen auf, beispielsweise in der DNA-Sequenzierung, beim Layout integrierter Schaltkreise oder bei der Steuerung eines Bohrers in der Herstellung von Leiterplatten[8]. Darüber hinaus hat sich aus der Praxis heraus eine nahezu unerschöpfliche Auswahl an beliebig kombinierbaren Varianten entwickelt, die zusammen die Familie der TSP bilden und alle NP-schwer sind. Einige dieser Verallgemeinerungen betrachten mehrere Handlungsreisende, während sich andere Varianten durch die grundlegende Veränderung des Optimierungskriteriums oder durch zusätzliche Nebenbedingungen von der klassischen Version unterscheiden.

Die Vorgehensweise in der Praxis unterscheidet sich von der mathematischen Theorie dadurch, dass in der Regel nicht nach einer optimalen Lösung gesucht wird, sondern nur nach einer ausreichend guten. Denn schließlich muss der Gesamtaufwand betrachtet werden, also der Aufwand für Durchführung und Berechnung. Was dabei „gut“ bedeutet und welche Kriterien zum Tragen kommen, hängt dann sehr vom Kontext des Problems ab. So wird man sich für eine einmalige Liefertour weniger Mühe machen als für die Bestückungsplanung einer Leiterplatte, die in einer Millionenauflage hergestellt wird.

### Mehrere Handlungsreisende

Beim multiple TSP (mTSP) werden die Städte auf mehrere Handlungsreisende aufgeteilt, wobei alle ihre Rundreisen in derselben Stadt starten und ihre Rundreise dort auch wieder beenden. Jede Stadt muss von genau einem Handlungsreisenden besucht werden. Ziel ist die Minimierung der zurückgelegten Gesamtstrecke. In der Variante mTSP with nonlazy Salesmen werden nur Rundreisen mit mindestens zwei Städten zugelassen, so dass sich jeder Rundreisende tatsächlich fortbewegen muss. Die klassische Version ergibt sich als Spezialfall mit nur einem Handlungsreisenden.

Das Vehicle Routing Problem (VRP) ist ein multiple TSP mit zusätzlichen Kapazitäten. Es entstand direkt aus der praktischen Notwendigkeit der Tourenplanung, bei der Waren aus einem zentralen Depot an Kunden ausgeliefert werden sollen. Die Rundreisen entsprechen den Touren von Transportern mit beschränkter Transportkapazität, die von dem gemeinsamen Depot aus starten und wieder dorthin zurückkehren. Ziel des VRP ist es, alle Kunden möglichst kostengünstig zu beliefern. Dabei kann ein Kunde zwar mehrfach, aber jeweils nur von einem Transporter beliefert werden. In dem Spezialfall, dass die Kapazitäten der Transporter größer sind als die Summe aller Bestellmengen sind, entspricht das VRP dem mTSP und ist daher ebenfalls NP-schwer. Vom Vehicle Routing Problem (VRP) abgeleitete Varianten sind:

• Capacitated VRP (CVRP): Alle Transporter haben die gleiche Kapazität.
• Multiple Depot VRP (MDVRP): Die Transporter können von mehreren verschiedenen Depots starten.
• Periodisches VRP (PVRP): Der Bedarf der Kunden wächst in zeitlichen Abständen nach. Betrachtet wird eine bestimmte Zeitdauer.
• Split Delivery VRP (SDVRP): Ein Kunde kann von verschiedenen Transportern beliefert werden.
• VRP with Backhauls (VRPB): Lieferanten und deren Abgabemengen werden berücksichtigt.
• Dynamisches VRP (DVRP): Zusätzlicher Bedarf kann während der Berechnung entstehen, was vorzeitig zu berücksichtigen ist.

### Städtecluster

Beim generalized TSP (GTSP) (deutsch: verallgemeinertes TSP) werden mehrere Städte zu einem Cluster zusammengefasst. Der Handlungsreisende muss aus jedem Cluster genau eine Stadt besuchen. Das TSP ist ein Spezialfall des GTSP, in dem jede Stadt in einem Cluster liegt, der eben nur diese eine Stadt enthält. Jede Instanz des GTSP lässt sich in eine Instanz des einfachen TSP überführen und mit den für dieses Problem bekannten Algorithmen lösen. Aus diesem Grund ist auch das GTSP NP-schwer.

In der Praxis werden die Lösungsalgorithmen des GTSP z. B. dazu verwendet, den Leerweg von CNC-Schneidemaschinen zu optimieren. Diese werden unter anderem in der Textilbranche eingesetzt, um aus einer großen Bahn Stoff kleinere Teile für Kleidungsstücke auszuschneiden. Hierbei stellen die auszuschneidenden Konturen die Cluster und die möglichen Ansatzpunkte des Schneidwerkzeuges auf den Konturen die Städte dar.

### Änderungen des Optimierungskriteriums

Beim Prize Collecting TSP (PCTSP) werden dem Handlungsreisenden in jeder Stadt bestimmte Preisgelder bezahlt (beispielsweise Verkaufsumsätze). Um von einer Stadt zur nächsten zu reisen, muss er jedoch wiederum Kosten aufbringen. Er soll nun eine vorgegebene Anzahl von Städten und eine Rundreise zwischen diesen Städten so auszuwählen, dass der Gewinn maximal wird. Da das Problem als Spezialfall die klassische Variante enthält (alle Städte müssen besucht werden und alle Preisgelder sind 0), ist das PCTSP ebenfalls NP-schwer. Eine von ihm abgeleitete Spezialform ist das Traveling Salesman Selection Problem (TSSP), bei dem zu vorgegebenem ${\displaystyle k}$ eine kürzeste Tour zwischen beliebigen ${\displaystyle k}$ Städten gesucht ist, wobei auf Preisgelder verzichtet wird und metrische Distanzen vorausgesetzt werden.

Beim Bottleneck TSP (BTSP) soll nicht die Summe der Kantenlängen, sondern die Länge der längsten verwendeten Kante minimiert werden. Dies bewirkt eine weniger starke Streuung der einzelnen Distanzen, um möglichen Engpässen, sogenannten Flaschenhälsen, entgegenzuwirken. Eine verwandte Variante ist das maximum scatter TSP, bei dem die kleinste verwendete Länge maximiert wird.

### Zusätzliche Nebenbedingungen

Eine in praktischen Anwendungen häufig auftretende zusätzliche Einschränkung sind Zeitfenster, in denen eine Stadt besucht werden muss. Beispielsweise vereinbart ein technischer Kundendienst zur Reparatur von Haushaltsgeräten mit seinen Kunden in der Regel einen Zeitraum, in dem der Besuch des Technikers stattfinden soll. Dieser Zeitraum muss bei der anschließenden Planung der Touren durch den Reparaturbetrieb berücksichtigt werden.

Beim Online TSP sind nicht alle Städte von vornherein gegeben, sondern werden erst nach und nach bekannt, während der Handlungsreisende schon unterwegs ist. Dieser muss dann seine Tour auf Basis der jeweils vorhandenen Daten so planen bzw. abändern, dass neue Städte „möglichst gut“ in seine bisher geplante Tour hineinpassen (was auch immer das in der jeweiligen Anwendung genau bedeutet). Diese Variante tritt beispielsweise bei Pannendiensten wie dem ADAC auf, wo die Positionen liegengebliebener Autos erst nach und nach bekannt werden und die Zentrale versuchen muss, neue Fälle möglichst günstig in die bestehenden Touren der Pannenhelfer einzubauen. Da mehrere von diesen unterwegs sind und die Zentrale bei der Meldung einer Panne auch eine ungefähre Zeitangabe macht, wann ein Pannenhelfer eintreffen wird, handelt es sich hierbei um ein Multiple Online TSP mit Zeitfenstern.

## Einzelnachweise

1. ^ “Der Handlungsreisende – wie er sein soll und was er zu thun [sic] hat, um Aufträge zu erhalten und eines glücklichen Erfolgs in seinen Geschäften gewiß zu sein – von einem alten Commis-Voyageur”
2. ^ A discussion of the early work of Hamilton and Kirkman can be found in Graph Theory 1736-1936
3. ^ Original German: Wir bezeichnen als Botenproblem (weil diese Frage in der Praxis von jedem Postboten, übrigens auch von vielen Reisenden zu lösen ist) die Aufgabe, für endlich viele Punkte, deren paarweise Abstände bekannt sind, den kürzesten die Punkte verbindenden Weg zu finden.
4. ^ A detailed treatment of the connection between Menger and Whitney as well as the growth in the study of TSP can be found in Alexander Schrijver's 2005 paper "On the history of combinatorial optimization (till 1960)".
5. ^ a b William Cook, Daniel Espinoza, Marcos Goycoolea: Computing with Domino-Parity Inequalities for the TSP. 2005. (Preprint, pdf)
6. ^ Keld Helsgaun: An Effective Implementation of the Lin-Kernighan Traveling Salesman Heuristic. In: European Journal of Operational Research. Amsterdam 126.2000, Nr. 1, S.106–130. ISSN 0377-2217
7. ^ TSP-Seite von Vašek Chvátal
8. ^ Dokumentierte Anwendungen von Concorde

## Literatur

• David Applegate, Robert Bixby, Vašek Chvátal, William Cook: On the Solution of Traveling Salesman Problems. Documenta Mathematica. Extraband 3 zum Internationalen Mathematikerkongress. Berlin 1998, S. 645-656. (Postscript)
• David L. Applegate, Robert E. Bixby, Vašek Chvátal, and William J. Cook: The Traveling Salesman Problem. A Computational Study. Princeton University Press, Februar 2007. ISBN 0-691-12993-2
• Lawler, Lenstra, Rinnooy Kan, Shmoys (Hrsg.): The Traveling Salesman Problem. A Guided Tour of Combinatorial Optimization. Wiley, Chichester 1985. ISBN 0-471-90413-9
• W. Domschke: Logistik - Rundreisen und Touren. Oldenbourg-Verlag, München/Wien 1997 (4. Aufl.). ISBN 3-486-29472-5
• T. Grünert, S. Irnich: Optimierung im Transport. Bd 2. Wege und Touren. Shaker Verlag, Aachen 2005. ISBN 3-8322-4515-4